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PolytechniqueFilière PCAnalyse

Suites et séries de fonctions

Cette page réunit les exercices de suites et séries de fonctions posés à Polytechnique en 2026, puis les exercices de 2025. Les corrections 2026 suivent au plus près les comptes rendus d’oraux disponibles.

20262025

Polytechnique

Exercices 2026

2 exercices

Exercice 1—Stabilité approchée de l’équation de Cauchy

Exercice tombé en 2026 · Raphaël Pradel

Difficulté★★★☆☆

Énoncé

Soit f:R→Cf:\mathbb{R}\to\mathbb{C} continue et soit m>0m>0. On suppose que, pour tous x,y∈Rx,y\in\mathbb{R},

∣f(x+y)−f(x)−f(y)∣≤m.|f(x+y)-f(x)-f(y)|\leq m.

Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, on définit

gn(x)=f(2nx)2n.g_n(x)=\frac{f(2^n x)}{2^n}.

Montrer que la suite de fonctions (gn)(g_n) converge uniformément sur R\mathbb{R} vers une fonction gg.

Indication›

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Exercice 2—Limite uniforme d’une suite de polynômes

Exercice tombé en 2026 · BGB

DifficultéÀ définir
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Polytechnique

Exercices 2025

3 exercices

Exercice 1—Série de Fourier de la fonction carré

Exercice tombé en 2025 · RMS 110

DifficultéÀ définir

Énoncé

On admet que

∑n=1+∞1n4=π490\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}

Soit

g:x⟼π23+∑n=1+∞4(−1)nn2cos⁡(nx)g:x\longmapsto \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2}\cos(nx)
  1. Montrer que gg est définie sur R\mathbb{R}.
  2. Calculer
    ∫−ππg(x)2 dx\int_{-\pi}^{\pi}g(x)^2\,dx
  3. Calculer
    ∫−ππ(x2−g(x))2 dx\int_{-\pi}^{\pi}(x^2-g(x))^2\,dx
  4. Expliciter gg et tracer son graphe.
Indication›

Pour a), utiliser la convergence normale de la série de fonctions.

Pour b) et c), utiliser l’orthogonalité des fonctions cos⁡(nx)\cos(nx) sur [−π,π][-\pi,\pi].

Pour d), exploiter le fait que l’intégrale d’un carré continu est nulle.

Corrigé›

a) Définition de g

Pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} et tout entier n≥1n\geq1,

∣4(−1)nn2cos⁡(nx)∣≤4n2\left| \frac{4(-1)^n}{n^2}\cos(nx) \right| \leq \frac{4}{n^2}

La série numérique ∑4/n2\sum 4/n^2 converge. D’après le critère de Weierstrass, la série définissant gg converge normalement, donc uniformément, sur R\mathbb{R}.

La fonction gg est donc bien définie, continue, paire et 2π2\pi-périodique.

b) Calcul de l’intégrale de g²

Posons

a0=π23,an=4(−1)nn2(n≥1)a_0=\frac{\pi^2}{3}, \qquad a_n=\frac{4(-1)^n}{n^2}\quad(n\geq1)

Grâce à la convergence uniforme, on peut intégrer les sommes partielles puis passer à la limite. L’orthogonalité des cosinus donne

∫−ππcos⁡(nx) dx=0\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx=0

et, pour \(n,m\geq1\),

∫−ππcos⁡(nx)cos⁡(mx) dx={0si n≠m,πsi n=m\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(mx)\,dx = \begin{cases} 0&\text{si }n\neq m,\\ \pi&\text{si }n=m \end{cases}

Par conséquent,

∫−ππg(x)2 dx=2πa02+π∑n=1+∞an2=2ππ49+16π∑n=1+∞1n4=2π59+16ππ490=2π55\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}g(x)^2\,dx &= 2\pi a_0^2 + \pi\sum_{n=1}^{+\infty}a_n^2\\ &= 2\pi\frac{\pi^4}{9} + 16\pi\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}\\ &= \frac{2\pi^5}{9} + 16\pi\frac{\pi^4}{90}\\ &= \frac{2\pi^5}{5} \end{aligned}

Ainsi,

∫−ππg(x)2 dx=2π55\boxed{ \int_{-\pi}^{\pi}g(x)^2\,dx = \frac{2\pi^5}{5} }

c) Calcul de l’intégrale de (x² − g)²

On développe :

∫−ππ(x2−g(x))2 dx=∫−ππx4 dx+∫−ππg(x)2 dx−2∫−ππx2g(x) dx\int_{-\pi}^{\pi}(x^2-g(x))^2\,dx = \int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx + \int_{-\pi}^{\pi}g(x)^2\,dx - 2\int_{-\pi}^{\pi}x^2g(x)\,dx

Tout d’abord,

∫−ππx4 dx=2π55\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx = \frac{2\pi^5}{5}

Calculons ensuite le terme croisé. On a

∫−ππx2g(x) dx=π23∫−ππx2 dx+∑n=1+∞4(−1)nn2∫−ππx2cos⁡(nx) dx\int_{-\pi}^{\pi}x^2g(x)\,dx = \frac{\pi^2}{3} \int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2} \int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx

Or

∫−ππx2 dx=2π33\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx = \frac{2\pi^3}{3}

et deux intégrations par parties donnent, pour tout n≥1n\geq1,

∫−ππx2cos⁡(nx) dx=4π(−1)nn2\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx = \frac{4\pi(-1)^n}{n^2}

Par conséquent,

∫−ππx2g(x) dx=π23⋅2π33+16π∑n=1+∞1n4=2π59+16π590=2π55\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}x^2g(x)\,dx &= \frac{\pi^2}{3}\cdot\frac{2\pi^3}{3} + 16\pi \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}\\ &= \frac{2\pi^5}{9} + \frac{16\pi^5}{90}\\ &= \frac{2\pi^5}{5} \end{aligned}

Il vient donc

∫−ππ(x2−g(x))2 dx=2π55+2π55−2⋅2π55=0\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}(x^2-g(x))^2\,dx &= \frac{2\pi^5}{5} + \frac{2\pi^5}{5} - 2\cdot\frac{2\pi^5}{5}\\ &= 0 \end{aligned}
∫−ππ(x2−g(x))2 dx=0\boxed{ \int_{-\pi}^{\pi}(x^2-g(x))^2\,dx=0 }

d) Expression de g et graphe

La fonction x↦(x2−g(x))2x\mapsto(x^2-g(x))^2 est continue et positive sur [−π,π][-\pi,\pi]. Son intégrale étant nulle, elle est identiquement nulle. Ainsi,

∀x∈[−π,π],g(x)=x2\forall x\in[-\pi,\pi], \qquad g(x)=x^2

Comme gg est 2π2\pi-périodique, pour tout k∈Zk\in\mathbb{Z},

g(x)=(x−2kπ)2si x∈[(2k−1)π,(2k+1)π]\boxed{ g(x)=(x-2k\pi)^2 \quad \text{si } x\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi] }

Le graphe est donc obtenu en répétant, avec une période 2π2\pi, l’arc de parabole y=x2y=x^2 tracé sur [−π,π][-\pi,\pi]. Les minima sont situés aux points (2kπ,0)(2k\pi,0) et les raccords ont lieu aux abscisses (2k+1)π(2k+1)\pi, à la hauteur π2\pi^2.

Exercice 2—Convergence uniforme des dérivées

Exercice tombé en 2025 · RMS 109

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit (fn)n∈N(f_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite de fonctions de classe C3\mathcal{C}^3 définies de R\mathbb{R} dans R\mathbb{R}.

On suppose que

sup⁡n∈N(sup⁡x∈R∣fn(3)(x)∣)=c∈R\sup_{n\in\mathbb{N}} \left( \sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n^{(3)}(x)| \right) = c\in\mathbb{R}

et

lim⁡n→+∞sup⁡x∈R∣fn(x)∣=0\lim_{n\to+\infty} \sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)| = 0

Montrer que

lim⁡n→+∞sup⁡x∈R∣fn′(x)∣=0\lim_{n\to+\infty} \sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n'(x)| = 0

et

lim⁡n→+∞sup⁡x∈R∣fn′′(x)∣=0\lim_{n\to+\infty} \sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n''(x)| = 0
Indication›

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Exercice 3—Série d’opérateurs intégraux

Exercice tombé en 2025 · RMS 111

DifficultéÀ définir
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