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Suites et séries

Cette page réunit les exercices de suites et séries posés aux oraux de Polytechnique en 2026, puis les exercices de 2025. Certains exercices sont apparus les deux années.

2026 2025

Polytechnique

Exercices 2026

2 exercices

Exercice 1—Somme de Riemann sur un intervalle variable

Exercice tombé en 2025 et 2026

Difficulté★★☆☆☆

Énoncé

Pour tout $n\geq 1$ , on pose

v_n=\sum_{k=1}^{n^2}\frac{1}{n^2+k^2}

Déterminer la limite de $(nv_n)$ .

Indication›

Réécrire $nv_n$ à l’aide de la fonction $f:t\longmapsto\frac{1}{1+t^2}$ , puis encadrer la somme par deux intégrales.

Corrigé›

Posons

f(t)=\frac{1}{1+t^2}

La fonction $f$ est continue, positive et décroissante sur $[0,+\infty[$ .

On peut réécrire la quantité étudiée sous la forme

\begin{aligned} nv_n &= n\sum_{k=1}^{n^2}\frac{1}{n^2+k^2}\\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n^2} \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}\\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n^2} f\!\left(\frac{k}{n}\right) \end{aligned}

Comme $f$ est décroissante, pour tout $k\in\{1,\ldots,n^2\}$ ,

\int_{k/n}^{(k+1)/n}f(t)\,dt \leq \frac1n f\!\left(\frac{k}{n}\right) \leq \int_{(k-1)/n}^{k/n}f(t)\,dt

En sommant ces inégalités pour $k=1,\ldots,n^2$ , on obtient

\int_{1/n}^{\,n+1/n}\frac{dt}{1+t^2} \leq nv_n \leq \int_0^n\frac{dt}{1+t^2}

Une primitive de $t\longmapsto\frac{1}{1+t^2}$ est $\arctan$ . Ainsi,

\arctan\!\left(n+\frac1n\right) - \arctan\!\left(\frac1n\right) \leq nv_n \leq \arctan(n)

Or, lorsque $n$ tend vers $+\infty$,

\arctan\!\left(n+\frac1n\right) - \arctan\!\left(\frac1n\right) \longrightarrow \frac{\pi}{2}

\arctan(n)\longrightarrow\frac{\pi}{2}

Par le théorème des gendarmes,

\boxed{nv_n\longrightarrow\frac{\pi}{2}}

Exercice 2—Complétude de l’espace ℓ¹

Exercice tombé en 2025 et 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé réservé

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Polytechnique

Exercices 2025

3 exercices

Exercice 3—Somme de Riemann sur un intervalle variable

Exercice tombé en 2025 et 2026

Difficulté★★☆☆☆

Énoncé

Pour tout $n\geq 1$ , on pose

v_n=\sum_{k=1}^{n^2}\frac{1}{n^2+k^2}

Déterminer la limite de $(nv_n)$ .

Indication›

Réécrire $nv_n$ à l’aide de la fonction $f:t\longmapsto\frac{1}{1+t^2}$ , puis encadrer la somme par deux intégrales.

Corrigé›

Posons

f(t)=\frac{1}{1+t^2}

La fonction $f$ est continue, positive et décroissante sur $[0,+\infty[$ .

On peut réécrire la quantité étudiée sous la forme

\begin{aligned} nv_n &= n\sum_{k=1}^{n^2}\frac{1}{n^2+k^2}\\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n^2} \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}\\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n^2} f\!\left(\frac{k}{n}\right) \end{aligned}

Comme $f$ est décroissante, pour tout $k\in\{1,\ldots,n^2\}$ ,

\int_{k/n}^{(k+1)/n}f(t)\,dt \leq \frac1n f\!\left(\frac{k}{n}\right) \leq \int_{(k-1)/n}^{k/n}f(t)\,dt

En sommant ces inégalités pour $k=1,\ldots,n^2$ , on obtient

\int_{1/n}^{\,n+1/n}\frac{dt}{1+t^2} \leq nv_n \leq \int_0^n\frac{dt}{1+t^2}

Une primitive de $t\longmapsto\frac{1}{1+t^2}$ est $\arctan$ . Ainsi,

\arctan\!\left(n+\frac1n\right) - \arctan\!\left(\frac1n\right) \leq nv_n \leq \arctan(n)

Or, lorsque $n$ tend vers $+\infty$,

\arctan\!\left(n+\frac1n\right) - \arctan\!\left(\frac1n\right) \longrightarrow \frac{\pi}{2}

\arctan(n)\longrightarrow\frac{\pi}{2}

Par le théorème des gendarmes,

\boxed{nv_n\longrightarrow\frac{\pi}{2}}

Exercice 4—Convergence d’une suite définie par récurrence

Exercice tombé en 2025 · RMS 94

DifficultéÀ définir

Énoncé

On définit $(u_n)$ par $u_0,u_1\in\mathbb{R}_+^*$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ ,

u_{n+2}=\sqrt{u_{n+1}}+\sqrt{u_n}

Montrer que la suite $(u_n)$ converge.

Indication›

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Exercice 5—Complétude de l’espace ℓ¹

Exercice tombé en 2025 et 2026

DifficultéÀ définir

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