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PolytechniqueFilière PCAnalyse

Séries entières

Cette page réunit les exercices de séries entières posés à Polytechnique en 2026, puis les exercices de 2025. Les corrections sont rédigées à partir des comptes rendus d’oraux et des corrigés disponibles.

20262025

Polytechnique

Exercices 2026

1 exercice

Exercice 1—Séries entières à coefficients entiers

Exercice tombé en 2026 · Bailhache

Difficulté★★★★☆
Énoncé réservé
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Polytechnique

Exercices 2025

4 exercices

Exercice 1—Série entière d’une fraction rationnelle

Exercice tombé en 2025 · RMS 113

DifficultéÀ définir

Énoncé

Donner le développement en série entière de

f(x)=11−2x−x2f(x)= \frac{1}{1-2x-x^2}

et son rayon de convergence. Montrer que les coefficients sont entiers. Pouvait-on le prévoir ?

Indication›

Poser f(x)=∑n≥0anxnf(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n, multiplier par 1−2x−x21-2x-x^2 et identifier les coefficients.

Corrigé›

1. Relation de récurrence

Supposons que

f(x)=∑n=0+∞anxnf(x)= \sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n

L’identité

(1−2x−x2)∑n=0+∞anxn=1(1-2x-x^2) \sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n = 1

donne, après identification des coefficients,

{a0=1,a1=2a0=2,an=2an−1+an−2(n≥2)\begin{cases} a_0=1,\\ a_1=2a_0=2,\\ a_n=2a_{n-1}+a_{n-2} \quad(n\geq2) \end{cases}

Cette récurrence montre immédiatement, par récurrence, que

∀n∈N,an∈N\boxed{ \forall n\in\mathbb{N}, \qquad a_n\in\mathbb{N} }

2. Expression explicite des coefficients

L’équation caractéristique de la récurrence est

r2−2r−1=0r^2-2r-1=0

Ses deux racines sont

r−=1−2,r+=1+2r_-=1-\sqrt2, \qquad r_+=1+\sqrt2

Il existe donc deux constantes α\alpha et β\beta telles que

an=α(1−2)n+β(1+2)na_n= \alpha(1-\sqrt2)^n + \beta(1+\sqrt2)^n

Les conditions a0=1a_0=1 et a1=2a_1=2 donnent finalement

an=(1+2)n+1−(1−2)n+122\boxed{ a_n= \frac{ (1+\sqrt2)^{n+1} - (1-\sqrt2)^{n+1} }{2\sqrt2} }

Ainsi,

11−2x−x2=∑n=0+∞(1+2)n+1−(1−2)n+122xn\boxed{ \frac{1}{1-2x-x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{ (1+\sqrt2)^{n+1} - (1-\sqrt2)^{n+1} }{2\sqrt2} x^n }

3. Rayon de convergence

Les pôles de la fraction rationnelle sont les racines de

1−2x−x2=01-2x-x^2=0

c’est-à-dire

x=−1+2etx=−1−2x=-1+\sqrt2 \qquad\text{et}\qquad x=-1-\sqrt2

Le rayon de convergence est la distance de 00 au pôle le plus proche :

R=2−1=11+2\boxed{ R=\sqrt2-1 = \frac{1}{1+\sqrt2} }

Pouvait-on prévoir que les coefficients seraient entiers ?

Oui. Le dénominateur appartient à Z[X]\mathbb{Z}[X] et son coefficient constant vaut 11. Son inverse dans l’anneau des séries formelles se calcule coefficient par coefficient sans jamais diviser par autre chose que 11. La récurrence entière obtenue plus haut était donc prévisible.

Exercice 2—Développement d’une puissance singulière

Exercice tombé en 2025 · RMS 112

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit

f:t⟼(1−t)1−1/tf:t\longmapsto(1-t)^{1-1/t}

Cette fonction est-elle développable en série entière ? Si oui, déterminer le rayon de convergence et le signe des coefficients de ce développement en série entière.

Indication›

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Exercice 3—Fonction entière non rationnelle et approximation de Padé

Exercice tombé en 2025 · RMS 114

DifficultéÀ définir

Énoncé

On pose

f:z⟼∑n=0+∞zn2n(n−1)/2f:z\longmapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{2^{n(n-1)/2}}
  1. Montrer que ff n’est pas le quotient de deux polynômes.

  2. Pour N∈N∗N\in\mathbb{N}^*, on note

    ZN[X]={P∈Z[X] ; deg⁡P≤N}\mathbb{Z}_N[X] = \left\{ P\in\mathbb{Z}[X]\ ;\ \deg P\leq N \right\}

    Montrer qu’il existe un couple non nul

    (P,Q)∈ZN[X]2(P,Q)\in\mathbb{Z}_N[X]^2

    tel que le développement en série entière de Pf−QPf-Q ait ses 2N+12N+1 premiers coefficients nuls.

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Exercice 4—Série de Gregory et approximation de π

Exercice tombé en 2025 · RMS 115

DifficultéÀ définir

Énoncé

  1. Donner le développement en série entière de arctan⁡\arctan et montrer :

    ∑k=0+∞(−1)k2k+1=π4\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}

  2. Pour n∈N∗n\in\mathbb{N}^*, on pose

    Sn=4∑k=0n−1(−1)k2k+1S_n= 4\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2k+1}

    Montrer :

    ∣π−Sn−(−1)nn∣≤12n3\left| \pi-S_n-\frac{(-1)^n}{n} \right| \leq \frac{1}{2n^3}
  3. Montrer que, pour n=5×105n=5\times10^5, π\pi et SnS_n ont leurs seize premières décimales communes, sauf pour la sixième.
Indication›

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