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Réduction

Cette page réunit les exercices de réduction posés aux oraux de Polytechnique en 2026, puis les exercices de 2025 déjà présents sur le site. Les exercices sont classés par année décroissante.

2026 2025

Polytechnique

Exercices 2026

7 exercices

Exercice 1—Formules de Courant–Fischer

Exercice tombé en 2026

Difficulté★★★☆☆

Énoncé

Soit $A\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ . On note

\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n

ses valeurs propres, répétées avec leur multiplicité, et $(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthonormée de vecteurs propres associée.

Pour tout sous-espace vectoriel non nul $M\subset\mathbb{R}^n$ , on pose

\lambda[M]= \inf_{\substack{x\in M\\\|x\|=1}} \langle x,Ax\rangle

Montrer que cet infimum est atteint.
Pour $1\leq k\leq n$ , établir les deux formes du théorème de Courant–Fischer :
$\lambda_k= \max_{\substack{M\subset\mathbb{R}^n\\ \dim M=n-k+1}} \ \min_{\substack{x\in M\\\|x\|=1}} \langle x,Ax\rangle$
et
$\lambda_k= \min_{\substack{S\subset\mathbb{R}^n\\ \dim S=k}} \ \max_{\substack{x\in S\\\|x\|=1}} \langle x,Ax\rangle$

Indication›

Utiliser la compacité de la sphère unité d’un sous-espace de dimension finie.

Pour les formules de minimax, introduire les espaces $\operatorname{Vect}(e_1,\ldots,e_k)$ et $\operatorname{Vect}(e_k,\ldots,e_n)$ puis utiliser la formule de Grassmann.

Corrigé›

1. L’infimum est atteint

Soit $M$ un sous-espace non nul. Sa sphère unité

\mathbb{S}_M= \{x\in M\mid\|x\|=1\}

est fermée et bornée dans l’espace vectoriel de dimension finie $M$ . Elle est donc compacte.

L’application $x\longmapsto\langle x,Ax\rangle$ est continue. Elle atteint donc son minimum sur $\mathbb{S}_M$ . Ainsi,

\lambda[M]= \min_{\substack{x\in M\\\|x\|=1}} \langle x,Ax\rangle

2. Première forme : maximum des minimums

Fixons $k\in\{1,\ldots,n\}$ et posons

E_k=\operatorname{Vect}(e_1,\ldots,e_k), \qquad F_k=\operatorname{Vect}(e_k,\ldots,e_n)

Soit $M$ un sous-espace de dimension $n-k+1$ . Par la formule de Grassmann,

\begin{aligned} \dim(M\cap E_k) &\geq\dim M+\dim E_k-n\\ &=(n-k+1)+k-n\\ &=1. \end{aligned}

Il existe donc un vecteur unitaire $x\in M\cap E_k$ . Écrivons

x=\sum_{i=1}^k\langle x,e_i\rangle e_i

Comme $Ae_i=\lambda_i e_i$ et $\lambda_i\leq\lambda_k$ pour $i\leq k$ ,

\begin{aligned} \langle x,Ax\rangle &= \sum_{i=1}^k |\langle x,e_i\rangle|^2\lambda_i\\ &\leq \lambda_k \sum_{i=1}^k |\langle x,e_i\rangle|^2\\ &=\lambda_k. \end{aligned}

Puisque ce vecteur appartient à $M$ ,

\min_{\substack{y\in M\\\|y\|=1}} \langle y,Ay\rangle \leq\lambda_k

Cette majoration est valable pour tout sous-espace $M$ de dimension $n-k+1$ . Par conséquent,

\max_{\dim M=n-k+1} \ \min_{\substack{y\in M\\\|y\|=1}} \langle y,Ay\rangle \leq\lambda_k

Prenons maintenant $M=F_k$ . Pour tout vecteur unitaire $x\in F_k$ ,

\begin{aligned} \langle x,Ax\rangle &= \sum_{i=k}^n |\langle x,e_i\rangle|^2\lambda_i\\ &\geq \lambda_k \sum_{i=k}^n |\langle x,e_i\rangle|^2\\ &=\lambda_k. \end{aligned}

L’égalité est obtenue pour $x=e_k$ . Ainsi,

\min_{\substack{x\in F_k\\\|x\|=1}} \langle x,Ax\rangle=\lambda_k

On conclut que

\boxed{ \lambda_k= \max_{\dim M=n-k+1} \ \min_{\substack{x\in M\\\|x\|=1}} \langle x,Ax\rangle }

3. Deuxième forme : minimum des maximums

Soit $S$ un sous-espace de dimension $k$ . La formule de Grassmann donne

\begin{aligned} \dim(S\cap F_k) &\geq\dim S+\dim F_k-n\\ &=k+(n-k+1)-n\\ &=1. \end{aligned}

Il existe donc un vecteur unitaire $x\in S\cap F_k$ . Comme $x\in F_k$ ,

\langle x,Ax\rangle = \sum_{i=k}^n |\langle x,e_i\rangle|^2\lambda_i \geq\lambda_k

Par conséquent,

\max_{\substack{y\in S\\\|y\|=1}} \langle y,Ay\rangle \geq\lambda_k

Cette inégalité est vraie pour tout $S$ de dimension $k$ , donc

\min_{\dim S=k} \ \max_{\substack{y\in S\\\|y\|=1}} \langle y,Ay\rangle \geq\lambda_k

Prenons enfin $S=E_k$ . Pour tout vecteur unitaire $x\in E_k$ ,

\langle x,Ax\rangle = \sum_{i=1}^k |\langle x,e_i\rangle|^2\lambda_i \leq\lambda_k

et l’égalité est obtenue pour $x=e_k$ . Ainsi,

\max_{\substack{x\in E_k\\\|x\|=1}} \langle x,Ax\rangle=\lambda_k

Finalement,

\boxed{ \lambda_k= \min_{\dim S=k} \ \max_{\substack{x\in S\\\|x\|=1}} \langle x,Ax\rangle }

Exercice 2—Polynômes caractéristiques de AB et BA

Exercice tombé en 2026

Difficulté★☆☆☆☆

Énoncé

Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Montrer que

\chi_{AB}=\chi_{BA}

Indication›

Commencer par le cas où $A$ est inversible. Dans le cas général, utiliser la densité de $GL_n(\mathbb C)$ dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$ ainsi que la continuité des coefficients du polynôme caractéristique.

Corrigé›

Premier cas : A est inversible

Supposons tout d’abord que

A\in GL_n(\mathbb C).

On remarque alors que

AB=A(BA)A^{-1}.

Les matrices $AB$ et $BA$ sont donc semblables. Elles ont par conséquent le même polynôme caractéristique :

\boxed{\chi_{AB}=\chi_{BA}}.

Cas général : argument de densité

Supposons maintenant que $A$ soit quelconque dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$ .

L’ensemble $GL_n(\mathbb C)$ est dense dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$ . (voir la démonstration du lemme plus bas) Il existe donc une suite $(A_k)_{k\geq1}$ de matrices inversibles telle que

A_k\longrightarrow A.

D’après le premier cas, pour tout $k\geq1$ ,

\chi_{A_kB}=\chi_{BA_k}.

Il reste donc à passer à la limite.

Considérons l’application

\begin{aligned} \Phi:\mathcal M_n(\mathbb C) &\longrightarrow \mathbb C_n[X],\\ M&\longmapsto\chi_{MB}. \end{aligned}

Les coefficients de $\chi_{MB}$ sont des polynômes en les coefficients de la matrice $MB$ . Or les coefficients de $MB$ dépendent linéairement des coefficients de $M$ . L’application $\Phi$ est donc continue.

De même, l’application

\begin{aligned} \Psi:\mathcal M_n(\mathbb C) &\longrightarrow \mathbb C_n[X],\\ M&\longmapsto\chi_{BM} \end{aligned}

est continue.

Comme $A_k\to A$ , on obtient donc

\chi_{A_kB}\longrightarrow\chi_{AB}

\chi_{BA_k}\longrightarrow\chi_{BA}.

Or, pour tout $k$ ,

\chi_{A_kB}=\chi_{BA_k}.

En passant à la limite coefficient par coefficient, on obtient finalement

\boxed{\chi_{AB}=\chi_{BA}}.

Remarque — Densité de GLₙ(ℂ) dans Mₙ(ℂ)

Montrons que toute matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ est limite d’une suite de matrices inversibles.

Pour $k\geq1$ , posons

A_k=A+\frac1k I_n.

On a immédiatement

A_k\longrightarrow A.

De plus,

\begin{aligned} A_k\text{ n'est pas inversible} &\Longleftrightarrow \det\left(A+\frac1kI_n\right)=0\\ &\Longleftrightarrow -\frac1k\in\operatorname{Sp}(A). \end{aligned}

Or le spectre de $A$ est un ensemble fini, tandis que les nombres

-\frac11,-\frac12,-\frac13,\ldots

sont tous distincts. Il n’existe donc qu’un nombre fini d’entiers $k$ tels que

-\frac1k\in\operatorname{Sp}(A).

Ainsi, pour $k$ suffisamment grand,

A_k\in GL_n(\mathbb C).

On a donc construit une suite de matrices inversibles convergeant vers $A$ . Par conséquent,

\boxed{ \overline{GL_n(\mathbb C)} = \mathcal M_n(\mathbb C) }.

Exercice 3—Spectre de l’opérateur M ↦ AM − MB

Exercice tombé en 2026

Difficulté★★★☆☆

Énoncé

Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On définit

u: \begin{cases} \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\longrightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\\ M\longmapsto AM-MB. \end{cases}

Déterminer le spectre de $u$ .
Que peut-on dire de $u$ lorsque $A$ et $B$ sont diagonalisables ?

Indication›

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Exercice 4—Co-diagonalisation et fonction caractéristique jointe

Exercice tombé en 2026

Difficulté★★★☆☆

Énoncé

Soient $H,K\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ deux matrices qui commutent, et soit $R\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ telle que $\operatorname{Tr}(R)=1$ .