Probabilités

Soit $n\in\mathbb N^*$ et soit $N$ une variable aléatoire uniforme sur

On fixe un nombre premier $p$. On définit la variable aléatoire $X$ par

c’est-à-dire que $X$ est le plus grand entier naturel tel que

De manière équivalente,

Calculer $\mathbb E(X)$.

Soit $(a_n)_{n\in\mathbb N^*}$ une suite croissante d’entiers naturels non nuls.

On tire des dés équilibrés, le $n$-ième dé admettant $a_n$ faces numérotées de $1$ à $a_n$.

On effectue les tirages tant que la suite des résultats est strictement croissante. On note $p$ la probabilité de faire une infinité de tirages.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(a_n)_{n\in\mathbb N^*}$ pour que $p$ soit non nul.