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PolytechniqueFilière PCAlgèbre

Espaces euclidiens

Cette sélection réunit d’abord les exercices tombés en 2026 à Polytechnique et à X-ESPCI à partir de sources personnelles, puis les exercices de la RMS 2025. Les corrigés disponibles suivent au plus près les copies fournies ; les autres sont indiqués comme étant en cours de construction.

20262025

Polytechnique

Exercices 2026

12 exercices

Exercice 1—Projection d’une base orthogonale sur un sous-espace

Exercice tombé en 2026 · X-ESPCI

Difficulté★★☆☆☆

Énoncé

Soit (e1,…,en)(e_1,\ldots,e_n) une base orthogonale de Rn\mathbb{R}^n et soit WW un sous-espace de dimension mm. On notepp le projecteur orthogonal sur WW et l’on suppose

∥p(e1)∥=⋯=∥p(en)∥\|p(e_1)\|=\cdots=\|p(e_n)\|

Montrer que, pour tout i∈⟦1,n⟧i\in\llbracket1,n\rrbracket,

∥ei∥2∑k=1n1∥ek∥2≥m\|e_i\|^2 \sum_{k=1}^n\frac1{\|e_k\|^2} \geq m
Indication›

Choisir une base orthonormée de WW, développer les projections dans cette base, puis utiliser l'expression d'un vecteur dans une base orthonormée(ek/∥ek∥)1≤k≤n\left(e_k/\|e_k\|\right)_{1\leq k\leq n}.

Corrigé›

Soit (f1,…,fm)(f_1,\ldots,f_m) une base orthonormée de WW. Pour toutii,

p(ei)=∑j=1m⟨ei,fj⟩fjp(e_i)=\sum_{j=1}^m\langle e_i,f_j\rangle f_j

Notons α\alpha la valeur commune des normes ∥p(ei)∥\|p(e_i)\|. Comme la famille (fj)(f_j) est orthonormée,

α2=∑j=1m⟨ei,fj⟩2(1)\boxed{ \alpha^2=\sum_{j=1}^m\langle e_i,f_j\rangle^2 }\tag{1}

Un projecteur orthogonal diminue la norme. Ainsi, pour toutii,

α2=∥p(ei)∥2≤∥ei∥2(2)\boxed{\alpha^2=\|p(e_i)\|^2\leq\|e_i\|^2}\tag{2}

Par ailleurs, la famille(ek/∥ek∥)1≤k≤n\left(e_k/\|e_k\|\right)_{1\leq k\leq n}est une base orthonormée de Rn\mathbb{R}^n. En exprimantfjf_j dans cette base orthonromée, on obtient

1=∥fj∥2=∑k=1n⟨ek,fj⟩2∥ek∥2(3)\boxed{ 1=\|f_j\|^2 =\sum_{k=1}^n \frac{\langle e_k,f_j\rangle^2}{\|e_k\|^2} }\tag{3}

On somme cette dernière égalité pourj=1,…,mj=1,\ldots,m, puis on permute les deux sommes finies :

m=∑j=1m∥fj∥2=∑j=1m∑k=1n⟨ek,fj⟩2∥ek∥2=∑k=1n1∥ek∥2∑j=1m⟨ek,fj⟩2=α2∑k=1n1∥ek∥2\begin{aligned} m &=\sum_{j=1}^m\|f_j\|^2\\ &=\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n \frac{\langle e_k,f_j\rangle^2}{\|e_k\|^2}\\ &=\sum_{k=1}^n\frac1{\|e_k\|^2} \sum_{j=1}^m\langle e_k,f_j\rangle^2\\ &=\alpha^2\sum_{k=1}^n\frac1{\|e_k\|^2} \end{aligned}

La dernière égalité provient de (1). Enfin, en utilisant (2) pour un indice ii fixé,

m=α2∑k=1n1∥ek∥2≤∥ei∥2∑k=1n1∥ek∥2m =\alpha^2\sum_{k=1}^n\frac1{\|e_k\|^2} \leq \|e_i\|^2\sum_{k=1}^n\frac1{\|e_k\|^2}

On a donc bien, pour tout ii,

∥ei∥2∑k=1n1∥ek∥2≥m\boxed{ \|e_i\|^2\sum_{k=1}^n\frac1{\|e_k\|^2}\geq m }

Exercice 2—Vecteurs unitaires à produits scalaires constants

Exercice tombé en 2026 · X-ESPCI

Difficulté★★★☆☆

Énoncé

Soit n≥1n\geq1. Déterminer tous les réels α\alpha pour lesquels il existe n+1n+1 vecteurs unitaires

x1,…,xn+1∈Rnx_1,\ldots,x_{n+1}\in\mathbb{R}^n

tels que

∀i≠j,⟨xi,xj⟩=α.\forall i\neq j, \qquad \langle x_i,x_j\rangle=\alpha.
Indication›

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Exercice 3—Matrice positive et inverse terme à terme

Exercice tombé en 2026 · X-ESPCI

Difficulté★★★★☆

Énoncé

Soient N,M∈Sn+(R)N,M\in\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R}) telles que tous les coefficients de NN soient non nuls et

mij=1nijpour tous i,j∈⟦1,n⟧.m_{ij}=\frac1{n_{ij}} \qquad \text{pour tous }i,j\in\llbracket1,n\rrbracket.

Montrer que rg⁡(N)=1\operatorname{rg}(N)=1.

Indication›

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Exercice 4—Points extrémaux des matrices positives de trace un

Exercice tombé en 2026 · X-ESPCI

Difficulté★★★★★

Énoncé

On pose

En={M∈Sn+(R) ; tr⁡(M)=1}E_n= \left\{M\in\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\,; \ \operatorname{tr}(M)=1\right\}

et l’on note PnP_n l’ensemble des projecteurs orthogonaux de rang un.

  1. Montrer que EnE_n est convexe.
  2. Montrer que Pn⊂EnP_n\subset E_n.
  3. Soit B∈EnB\in E_n de rang un. Montrer que B∈PnB\in P_n.
  4. Soit M∈EnM\in E_n. Montrer l’équivalence entre :
    ∃U∈Rn,∥U∥=1,UTMU=1\exists U\in\mathbb{R}^n, \quad\|U\|=1, \quad U^TMU=1
    et M∈PnM\in P_n.
  5. On dit que M∈EnM\in E_n est extrémal si, pour tous X,Y∈EnX,Y\in E_net tout λ∈]0,1[\lambda\in]0,1[,
    M=λX+(1−λ)Y⟹X=Y=MM=\lambda X+(1-\lambda)Y \quad\Longrightarrow\quad X=Y=M
    Déterminer les points extrémaux de EnE_n.
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Exercice 5—Caractérisation des projecteurs orthogonaux par la norme

Exercice tombé en 2026 · X-ESPCI

Difficulté★★☆☆☆

Énoncé

Soit pp un projecteur d’un espace euclidien EE. Montrer que

p est un projecteur orthogonal⟺∀x∈E, ∥p(x)∥≤∥x∥p\text{ est un projecteur orthogonal} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\in E,\ \|p(x)\|\leq\|x\|

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Exercice 6—Projection orthogonale et équations normales

Exercice tombé en 2025 et 2026 · X-ESPCI

Difficulté★★★☆☆
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Exercice 7—Combinaison convexe de vecteurs unitaires

Exercice tombé en 2026 · X-ESPCI

Difficulté★★☆☆☆
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Exercice 8—Pseudo-inverse et problème de moindres carrés

Exercice tombé en 2026

Difficulté★★☆☆☆
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Exercice 9—Produit scalaire pondéré sur l’espace des matrices

Exercice tombé en 2026 · X-ESPCI

Difficulté★★★☆☆
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Exercice 10—Identité du parallélogramme et norme euclidienne

Exercice tombé en 2026 · X-ESPCI

DifficultéÀ définir
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Exercice 11—Matrice de covariance et analyse en composantes principales

Exercice tombé en 2026 · X-ESPCI

Difficulté★★★☆☆
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Exercice 12—Maximum d’une forme quadratique cyclique

Exercice tombé en 2025 et 2026 · X-ESPCI

Difficulté★★★★☆
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Polytechnique

Exercices 2025

9 exercices

Exercice 13—Formes quadratiques complexes

Exercice tombé en 2025 · X-ESPCI

Difficulté★★☆☆☆

Énoncé

  1. Donner un exemple de matrice A∈Sn(C)A\in\mathcal{S}_n(\mathbb{C}) non diagonalisable.

  2. Soit M∈Mn(C)M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) et

    Q:x=(x1,…,xn)T∈Cn⟼∑1≤i,j≤nmi,jxixj∈CQ:x=(x_1,\ldots,x_n)^T\in\mathbb{C}^n \longmapsto \sum_{1\leq i,j\leq n}m_{i,j}x_ix_j\in\mathbb{C}

    Montrer qu’il existe une unique matrice S∈Sn(C)S\in\mathcal{S}_n(\mathbb{C}) telle que

    ∀x∈Cn,Q(x)=xTSx\forall x\in\mathbb{C}^n, \qquad Q(x)=x^TSx

  3. Montrer qu’il existe un ensemble fini II, une famille (ℓi)i∈I∈(L(Cn,C))I(\ell_i)_{i\in I}\in \left(\mathcal{L}(\mathbb{C}^n,\mathbb{C})\right)^I de formes linéaires indépendantes et une famille (αi)i∈I∈CI(\alpha_i)_{i\in I}\in\mathbb{C}^I telles que

    ∀x∈Cn,∑1≤i,j≤nai,jxixj=∑i∈Iαiℓi(x)2\forall x\in\mathbb{C}^n, \qquad \sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}x_ix_j = \sum_{i\in I}\alpha_i\ell_i(x)^2

    Indication. Commencer par traiter l’exemple

    Q(x)=x12+3x1x2+6x22+4x32Q(x)=x_1^2+3x_1x_2+6x_2^2+4x_3^2
Indication›

Pour a), chercher une matrice symétrique complexe non nulle dont le polynôme caractéristique est X2X^2.

Pour b), décomposer MM en partie symétrique et partie antisymétrique.

Pour c), procéder par complétion du carré, puis raisonner par récurrence sur le nombre de variables.

Corrigé›

a) Un exemple

On peut prendre

A=(i11−i)A= \begin{pmatrix} i&1\\ 1&-i \end{pmatrix}

Cette matrice est bien symétrique, car AT=AA^T=A. Son polynôme caractéristique vaut

χA(X)=det⁡(X−i−1−1X+i)=(X−i)(X+i)−1=X2\chi_A(X) = \det \begin{pmatrix} X-i&-1\\ -1&X+i \end{pmatrix} = (X-i)(X+i)-1 = X^2

La seule valeur propre de AA est donc 00. Or A≠0A\neq0. Si elle était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice diagonale nulle, donc serait nulle. C’est impossible.

A est symeˊtrique mais non diagonalisable\boxed{ A\text{ est symétrique mais non diagonalisable} }

b) Partie symétrique de M

Écrivons

M=S+K,S=M+MT2,K=M−MT2M=S+K, \qquad S=\frac{M+M^T}{2}, \qquad K=\frac{M-M^T}{2}

On a ST=SS^T=S et KT=−KK^T=-K. Pour tout x∈Cnx\in\mathbb C^n,

xTKx=(xTKx)T=xTKTx=−xTKxx^TKx = (x^TKx)^T = x^TK^Tx = -x^TKx

Donc

xTKx=0x^TKx=0

et ainsi

Q(x)=xTMx=xTSx.Q(x)=x^TMx=x^TSx.

La matrice symétrique cherchée existe donc et vaut

S=M+MT2.\boxed{ S=\frac{M+M^T}{2} }.

Unicité

Supposons que S1,S2∈Sn(C)S_1,S_2\in\mathcal S_n(\mathbb C) vérifient

∀X∈Cn,XTS1X=XTS2X.\forall X\in\mathbb C^n, \qquad X^TS_1X=X^TS_2X.

Posons

S=S1−S2.S=S_1-S_2.

Comme S1S_1 et S2S_2 sont symétriques, SS est également symétrique. De plus,

∀X∈Cn,XTSX=0.\forall X\in\mathbb C^n, \qquad X^TSX=0.

Soient maintenant X,Y∈CnX,Y\in\mathbb C^n. En appliquant l’égalité précédente à X+YX+Y puis à X−YX-Y, on obtient

{(X+Y)TS(X+Y)=0,(X−Y)TS(X−Y)=0.\begin{cases} (X+Y)^TS(X+Y)=0,\\ (X-Y)^TS(X-Y)=0. \end{cases}

En développant,

{XTSX+XTSY+YTSX+YTSY=0,XTSX−XTSY−YTSX+YTSY=0.\begin{cases} X^TSX+X^TSY+Y^TSX+Y^TSY=0,\\ X^TSX-X^TSY-Y^TSX+Y^TSY=0. \end{cases}

Or XTSX=0X^TSX=0 et YTSY=0Y^TSY=0. On obtient donc

XTSY+YTSX=0.X^TSY+Y^TSX=0.

Comme ST=SS^T=S, on a

YTSX=(YTSX)T=XTSTY=XTSY.\begin{aligned} Y^TSX &= (Y^TSX)^T\\ &= X^TS^TY\\ &= X^TSY. \end{aligned}

Ainsi,

2XTSY=0.2X^TSY=0.

Donc

∀X,Y∈Cn,XTSY=0.\forall X,Y\in\mathbb C^n, \qquad X^TSY=0.

En prenant X=eiX=e_i et Y=ejY=e_j, on obtient

sij=eiTSej=0.s_{ij} = e_i^TSe_j = 0.

Tous les coefficients de SS sont donc nuls. Ainsi,

S=0.S=0.

Par conséquent,

S1=S2.\boxed{ S_1=S_2 }.

c) Décomposition en carrés

Commençons par l’exemple proposé :

Q(x)=x12+3x1x2+6x22+4x32=(x1+32x2)2+154x22+4x32.\begin{aligned} Q(x) &= x_1^2+3x_1x_2+6x_2^2+4x_3^2\\ &= \left(x_1+\frac32x_2\right)^2 + \frac{15}{4}x_2^2 + 4x_3^2. \end{aligned}

Les trois formes linéaires x1+32x2, x2, x3x_1+\frac32x_2,\ x_2,\ x_3 sont indépendantes.

Passons au cas général. D’après la question précédente, la forme quadratique s’écrit

Q(x)=xTSxQ(x)=x^TSx

avec SS symétrique.

Si un coefficient diagonal siis_{ii} est non nul, on regroupe tous les termes contenant xix_i et on complète le carré :

Q(x)=sii(xi+∑j≠isijsiixj)2+Q1((xj)j≠i).Q(x) = s_{ii} \left( x_i+\sum_{j\neq i}\frac{s_{ij}}{s_{ii}}x_j \right)^2 + Q_1((x_j)_{j\neq i}).

où Q1Q_1 est une forme quadratique portant sur une variable de moins.

Si tous les coefficients diagonaux sont nuls mais que la forme n’est pas nulle, il existe i≠ji\neq j tel que sij≠0s_{ij}\neq0. On effectue alors le changement de variables

yi=xi+xj,yj=xi−xj.y_i=x_i+x_j, \qquad y_j=x_i-x_j.

Comme

xi=yi+yj2,xj=yi−yj2,x_i=\frac{y_i+y_j}{2}, \qquad x_j=\frac{y_i-y_j}{2},

on a

2sijxixj=sij2yi2−sij2yj2.2s_{ij}x_ix_j = \frac{s_{ij}}2y_i^2 - \frac{s_{ij}}2y_j^2.

On fait ainsi apparaître un coefficient diagonal non nul et on se ramène au cas précédent.

En répétant le procédé, ou plus formellement en raisonnant par récurrence sur le nombre de variables, on obtient après un changement linéaire inversible de coordonnées

Q(x)=α1ℓ1(x)2+⋯+αrℓr(x)2.Q(x) = \alpha_1\ell_1(x)^2 +\cdots+ \alpha_r\ell_r(x)^2.

Les formes ℓ1,…,ℓr\ell_1,\ldots,\ell_r appartiennent à une famille de coordonnées obtenue par un changement linéaire inversible. Elles sont donc linéairement indépendantes.

En posant I=⟦1,r⟧I=\llbracket1,r\rrbracket, on obtient bien

Q(x)=∑i∈Iαiℓi(x)2\boxed{ Q(x) = \sum_{i\in I} \alpha_i\ell_i(x)^2 }

avec II fini et les formes linéaires (ℓi)i∈I(\ell_i)_{i\in I} indépendantes.

Exercice 14—Inégalité de Minkowski pour le déterminant

Exercice tombé en 2025 · X-ESPCI

Difficulté★★★★★

Énoncé

Soient A,B∈Sn++(R)A,B\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}). Montrer que

det⁡(A+B)1/n≥det⁡(A)1/n+det⁡(B)1/n\det(A+B)^{1/n} \geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}
Indication›

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Exercice 15—Projection orthogonale et moindres carrés

Exercice tombé en 2025 et 2026 · X-ESPCI

Difficulté★★★☆☆
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Exercice 16—Décomposition spectrale et probabilités

Exercice tombé en 2025 · X-ESPCI

Difficulté★★★☆☆
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Exercice 17—Matrices de Householder et décomposition QR

Exercice tombé en 2024, 2025 et 2026 · X-ESPCI

Difficulté★★★☆☆
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Exercice 18—Inégalité matricielle et projection orthogonale

Exercice tombé en 2025 · X-ESPCI

Difficulté★★★☆☆
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Exercice 19—Familles ayant la même matrice de Gram

Exercice tombé en 2025 · RMS 83

DifficultéÀ définir
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Exercice 20—Base adaptée à deux matrices symétriques

Exercice tombé en 2025 · RMS 85

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Exercice 21—Maximum d’une forme quadratique cyclique

Exercice tombé en 2025 et 2026 · X

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