Algèbre générale

1. Première solution et propagation des racines

Le polynôme nul vérifie immédiatement l’identité proposée. Il est donc solution.

Supposons désormais que $P$ soit une solution non nulle. Soit $a\in\mathbb{C}$ une racine de $P$. En évaluant l’identité en $X=a$, on obtient

Ainsi, $a^2$ est encore une racine de $P$.

En répétant le même raisonnement, on voit successivement que

sont toutes des racines de $P$.

2. Toute racine non nulle est une racine de l’unité

Soit $a\neq0$ une racine de $P$.

Comme $P$ est non nul, il ne possède qu’un nombre fini de racines. La suite

ne peut donc pas prendre une infinité de valeurs distinctes. Il existe ainsi deux entiers $p<q$ tels que

Comme $a\neq0$, on peut diviser par $a^{2^p}$. Il vient

Autrement dit,

Donc

3. Les nombres $0$ et $-1$ ne sont pas racines

Supposons par l’absurde que $0$ soit racine de $P$.

D’après la première partie, si $a$ est racine de $P$, alors $(a+1)^2$ est également racine, puisque

En prenant $a=0$, on obtient donc

qui est une racine de $P$.

En appliquant à nouveau le même raisonnement à la racine $1$, on obtient

qui est également une racine de $P$.

Mais $4\neq0$. D’après la partie précédente, $4$ devrait donc être une racine de l’unité, ce qui est impossible puisque

Nous obtenons une contradiction. Ainsi,

Supposons maintenant par l’absurde que $-1$ soit racine de $P$.

D’après le même raisonnement,

serait alors également une racine de $P$, ce qui contredit le point précédent.

Ainsi,

4. Détermination des racines possibles

Soit maintenant $a$ une racine de $P$.

Nous venons de montrer que $a\neq0$. D’après la partie 2, $a$ est donc une racine de l’unité. En particulier,

Par ailleurs, en évaluant l’identité en $X=a+1$, on obtient

Ainsi, $(a+1)^2$ est également une racine de $P$.

Comme $-1$ n’est pas racine de $P$, on ne peut pas avoir $a=-1$. Par conséquent,

La partie 2 montre alors que $(a+1)^2$ est une racine de l’unité. Ainsi,

donc

Finalement,

Géométriquement, $|a|=1$ signifie que $a$ appartient au cercle de centre $0$ et de rayon $1$, tandis que $|a+1|=1$ signifie que $a$ appartient au cercle de centre $-1$ et de rayon $1$.

On peut retrouver algébriquement ces deux points. Écrivons $a=x+iy$, avec $x,y\in\mathbb{R}$. Les deux égalités précédentes donnent

En soustrayant les deux relations,

donc

Puis

d’où

En notant

on obtient finalement

5. Factorisation et détermination des multiplicités

On a montré que les seules racines possibles de $P$ sont $j$ et $j^2$.

Comme $P\in\mathbb{C}[X]$, le polynôme $P$ est scindé. Il existe donc $\lambda\in\mathbb{C}^*$ et $\alpha,\beta\in\mathbb{N}$ tels que

Comparons les termes de plus haut degré dans

Le coefficient dominant du membre de gauche vaut $\lambda$, tandis que celui du membre de droite vaut $\lambda^2$. Ainsi,

Comme $\lambda\neq0$,

Les polynômes non nuls cherchés sont donc nécessairement de la forme

D’une part,

En effet,$(j^2)^2=j$ et $j^2=j^2$, de sorte que

D’autre part,

Or

donc

Ainsi,

Comparons maintenant la multiplicité de $j$ dans les deux membres.

Dans $P(X^2)$, elle vaut $\beta$, tandis que dans $P(X)P(X-1)$, elle vaut $\alpha$.

Par unicité de la multiplicité d’une racine,

Par conséquent,

Comme

on a

Ainsi, toute solution non nulle est de la forme

6. Réciproque

Réciproquement, soit $\alpha\in\mathbb{N}$ et posons

On a

Par conséquent,

Tout polynôme de cette forme est donc bien solution.

En ajoutant la solution nulle trouvée au début, l’ensemble de toutes les solutions est finalement

Notons

Supposons que $P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}$. Pour tout $\theta\in\mathbb{R}$, on a alors

c’est-à-dire

Écrivons

et définissons le polynôme

Pour tout $z\in\mathbb{C}$, on a

Si $z\in\mathbb{U}$, alors $\overline z=1/z$. L’identité précédente devient donc

La quantité $P(X)\overline P(1/X)$ est une fraction rationnelle. Pour revenir à des polynômes, posons

Les expressions $A$ et $B$ sont des polynômes et, pour tout $z\in\mathbb{U}$,

Le cercle unité étant infini, le polynôme $A-B$ possède une infinité de racines. Il est donc nul. Ainsi

On en déduit que, pour tout $z\in\mathbb{C}^*$,

Supposons maintenant que $\alpha\neq0$ soit une racine de $P$. En prenant $z=\alpha$ dans l’identité précédente, on obtiendrait

ce qui est impossible.

Ainsi $P$ n’admet aucune racine non nulle. Toutes ses racines éventuelles sont donc égales à $0$. Le polynôme n’étant pas nul, il existe $\lambda\in\mathbb{C}^*$ et $m\in\mathbb{N}$ tels que

Pour $z\in\mathbb{U}$, on a alors

La stabilité du cercle unité impose donc $|\lambda|=1$.

Réciproquement, si

alors, pour tout $z\in\mathbb{U}$,

donc $P(z)\in\mathbb{U}$.

Posons

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et

Comme $Q(x)\geq 0$ et $e^{-x}>0$, on obtient

La fonction $g$ est donc décroissante sur $\mathbb{R}$.

Par ailleurs, puisque $P$ est un polynôme,

Fixons maintenant $x\in\mathbb{R}$. Comme $g$ est décroissante, pour tout $y>x$,

En faisant tendre $y$ vers $+\infty$, il vient

Donc

Comme $e^{-x}>0$, on en déduit

Ceci étant vrai pour tout $x\in\mathbb{R}$,

Pour tout réel $\theta$,

et

Ainsi,

On intègre cette égalité entre 0 et 2π :

Or

Tous les termes pour lesquels $k\neq j$ disparaissent. Il reste

Comme $0\leq r\leq1$, on a, pour tout $k$,

Donc

En appliquant l’identité précédente au cas $r=1$, on obtient

Enfin, la moyenne d’une fonction continue positive est inférieure ou égale à son maximum :

Finalement,