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Suites et séries de fonctions

Cette sélection réunit des exercices d’oraux du concours Mines-Ponts en filière PC. Cherchez d’abord à partir de l’énoncé, puis consultez les indications et les corrigés disponibles lorsque vous en avez besoin.

17 exercices disponibles

Exercices 2026

Exercice 1—Série alternée de 1/√(x+n)

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $x>0$ , on pose $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n/\sqrt{x+n}$ .

1. Justifier la définition de $S$ . Étudier sa continuité, sa dérivabilité et ses limites en $0^+$ et en $+\infty$ .

2. Montrer que

S(x)=\frac1{\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\frac{e^{-xt}}{\sqrt t(1+e^{-t})}\,dt.

Indication›

Corrigé›

Exercice 2—Somme des dérivées f^(n)/n! sous convergence uniforme sur les segments

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $f\in\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)$ . On suppose que la série de fonctions $\sum_{n\ge0}f^{(n)}/n!$ converge uniformément sur tout segment de $\mathbb R$ . Calculer sa somme.

Indication›

Corrigé›

Exercice 3—Fonction de Takagi

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

On définit $f(x)=\min_{n\in\mathbb Z}|x-n|$ .

1. Justifier l’existence de ce minimum pour tout réel $x$ .

2. Déterminer $f$ sur $[-1/2,1/2]$ , puis tracer sa représentation graphique.

3. Montrer que $|f(y)-f(x)|\le|y-x|$ .

4. On pose $b(x)=\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n}f(2^nx)$ . Montrer que $b$ est bien définie et continue sur $\mathbb R$ .

5. Montrer que $b$ est $1$ -périodique.

6. Calculer $\int_0^1b(x)\,dx$ .

7. Montrer que $b$ n’est pas dérivable à droite en $0$ .

Indication›

Corrigé›

Exercice 4—Primitives de eᵗ/(1+tⁿ) et suites définies par leurs inverses

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $n\in\mathbb N$ et $t\ge0$ , on pose $f_n(t)=e^t/(1+t^n)$ , puis $\Phi_n(x)=\int_0^x f_n(t)\,dt$ pour $x\ge0$ .

1. Étudier la convergence de $(f_n)$ .

2. Montrer que, pour tout $\alpha\ge0$ , il existe un unique $x_n(\alpha)\ge0$ tel que $\Phi_n(x_n(\alpha))=\alpha$ .

3. Déterminer la limite de $x_n(\alpha)$ selon la position de $\alpha$ par rapport à $e-1$ .

Indication›

Corrigé›

Exercice 5—Série Σ aⁿ cos(nx)/n

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $a\in]-1,1[$ . Pour $n\ge1$ et $x\in\mathbb R$ , on pose $f_n(x)=a^n\cos(nx)/n$ .

1. Montrer que $\sum f_n$ converge normalement sur $\mathbb R$ ; on note $f$ sa somme.

2. Montrer que $f\in\mathcal C^1(\mathbb R)$ , simplifier $f'$ puis déterminer $f$ .

3. Justifier l’existence de l’intégrale

\int_{-\pi}^{\pi}\ln(1+a^2-2a\cos t)\,dt.

Indication›

Corrigé›

Exercice 6—Série Σ aₙxⁿ(1−x) sur [0,1]

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $(a_n)_{n\ge1}$ une suite positive décroissante. Pour $x\in[0,1]$ , on pose $f_n(x)=a_n(1-x)x^n$ .

1. Montrer que $\sum f_n$ converge simplement sur $[0,1]$ .

2. Montrer que cette série converge normalement si et seulement si $\sum a_n/n$ converge.

3. Montrer qu’elle converge uniformément si et seulement si $a_n\to0$ .

Indication›

Corrigé›

Exercice 7—Translatés d’un cosinus tronqué

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

On définit $f(x)=\cos x$ si $|x|\le\pi/2$ et $f(x)=0$ sinon. Soit $(a_n)_{n\ge0}$ une suite réelle. On pose $f_n(x)=a_nf(x-n\pi)$ .

Étudier la convergence simple de $\sum f_n$ sur $\mathbb R$ . Donner des conditions nécessaires et suffisantes de convergence normale, puis de convergence uniforme.

Indication›

Corrigé›

Exercice 8—Série alternée de fonctions rationnelles

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

On pose

g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}n}{x^2+n^2}.

1. Déterminer le domaine de définition de $g$ et étudier sa continuité.

2. Montrer que

g(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\cos(xt)}{1+e^t}\,dt.

3. Montrer que $g$ est de classe $\mathcal C^\infty$ .

Indication›

Corrigé›

Exercices 2023

Exercice 1—Produit télescopique de fonctions

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose

f_n(x)=\prod_{k=0}^{n}\left(1+x^{2^k}\right)

Déterminer les réels $x$ pour lesquels la suite $(f_n(x))$ converge.
Lorsque cette suite converge, expliciter sa limite.

Indication›

Pour $|x|<1$ , étudier la série $\sum_{k\geq0}\ln\left(1+x^{2^k}\right)$ ou utiliser directement une identité télescopique.

Multiplier chaque facteur par $1-x^{2^k}$ .

Corrigé›

1. Étude de la convergence

Pour tout entier naturel $k$ ,

\left(1+x^{2^k}\right)\left(1-x^{2^k}\right) =1-x^{2^{k+1}}

Lorsque $x\neq1$ , les facteurs se télescopent et donnent

f_n(x)=\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}

Si $-1<x<1$ , alors $x^{2^{n+1}}\longrightarrow0$ et la suite converge.

Pour $x=-1$ , le premier facteur est nul, donc $f_n(-1)=0$ pour tout $n$ .

Pour $x=1$ , on a $f_n(1)=2^{n+1}$ , donc il n’y a pas convergence dans $\mathbb{R}$ .

Enfin, si $|x|>1$ , alors $|x|^{2^{n+1}}\to+\infty$ , donc $|f_n(x)|\to+\infty$ .

\boxed{(f_n(x))\text{ converge si et seulement si }x\in[-1,1[}

2. Limite

\boxed{ \lim_{n\to+\infty}f_n(x)= \begin{cases} 0,&x=-1,\\[3pt] \dfrac{1}{1-x},&-1<x<1. \end{cases}}

Exercice 2—Convergences de polynômes en dimension finie

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $d\in\mathbb{N}^*$ , $E=\mathbb{R}_d[X]$ et $\|\cdot\|$ une norme sur $E$ . Pour une suite $(P_n)$ de polynômes de $E$ et $P\in E$ , on écrit $P_n\xrightarrow[E]{}P$ lorsque $\|P_n-P\|\to0$ .

Montrer que $P_n\xrightarrow[E]{}P$ implique la convergence simple de $(P_n)$ vers $P$ sur $\mathbb{R}$ .
Caractériser les parties $I\subset\mathbb{R}$ pour lesquelles la convergence simple sur $I$ implique $P_n\xrightarrow[E]{}P$ .
Caractériser les parties $I\subset\mathbb{R}$ pour lesquelles la convergence uniforme sur $I$ est équivalente à $P_n\xrightarrow[E]{}P$ .

Indication›

Utiliser une base de $E$ et l’équivalence des normes en dimension finie.

Pour les questions 2 et 3, choisir $d+1$ points distincts de $I$ et utiliser la base de Lagrange associée.

Corrigé›

1. Convergence simple

Soit $(Q_0,\ldots,Q_d)$ une base de $E$ . Écrivons

P_n=\sum_{j=0}^{d}\alpha_{n,j}Q_j, \qquad P=\sum_{j=0}^{d}\alpha_jQ_j

En dimension finie, la convergence pour une norme équivaut à la convergence coordonnée par coordonnée. Ainsi,

\forall j\in\{0,\ldots,d\}, \qquad \alpha_{n,j}\longrightarrow\alpha_j

Pour tout réel $t$ ,

P_n(t)=\sum_{j=0}^{d}\alpha_{n,j}Q_j(t) \longrightarrow \sum_{j=0}^{d}\alpha_jQ_j(t)=P(t)

2. Convergence simple sur une partie

Supposons que $I$ possède au moins $d+1$ points distincts $x_0,\ldots,x_d$ . Dans la base de Lagrange associée, les coordonnées d’un polynôme $Q$ sont précisément les nombres $Q(x_j)$ . La convergence simple sur $I$ entraîne donc la convergence de toutes les coordonnées, puis la convergence dans $E$ .

Réciproquement, si $I$ contient au plus $d$ points, il existe un polynôme non nul $Q\in E$ qui s’annule sur $I$ . La suite $P_n=nQ$ converge simplement vers zéro sur $I$ , mais $\|P_n\|=n\|Q\|\to+\infty$ .

\boxed{\text{L’implication est vraie si et seulement si }\operatorname{card}(I)>d}

3. Convergence uniforme

Si $I$ est bornée et possède plus de $d$ points, la convergence uniforme implique la convergence simple, donc la convergence dans $E$ par la question précédente.

Inversement, si $P_n\to P$ dans $E$ , les coordonnées convergent. Comme chaque polynôme de la base est borné sur la partie bornée $I$ , on obtient

\sup_{t\in I}|P_n(t)-P(t)| \leq C\sum_{j=0}^{d}|\alpha_{n,j}-\alpha_j| \longrightarrow0

Si $\operatorname{card}(I)\leq d$ , le contre-exemple précédent fonctionne encore. Si $I$ n’est pas bornée, la suite $P_n=X/n$ converge vers zéro dans $E$ , mais pas uniformément sur $I$ .

\boxed{\text{L’équivalence est vraie si et seulement si } I\text{ est bornée et }\operatorname{card}(I)>d}

Exercice 3—Convergences simple, normale et uniforme

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $(a_n)$ une suite réelle, positive et décroissante. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose

u_n(x)=a_nx^n(1-x),\qquad x\in[0,1]

Montrer la convergence simple de la série de fonctions $\sum u_n$ .
Montrer que cette série converge normalement si et seulement si $\sum a_n/n$ converge.
Montrer qu’elle converge uniformément si et seulement si $a_n\to0$ .

Indication›

Calculer le maximum de $x^n(1-x)$ sur $[0,1]$ .

Pour la convergence uniforme, étudier le reste $R_N(x)=\sum_{n=N+1}^{+\infty}a_nx^n(1-x)$ et utiliser la décroissance de $(a_n)$ .

Corrigé›

1. Convergence simple

Pour $x=1$ , tous les termes sont nuls. Pour $0\leq x<1$ , puisque $a_n\leq a_0$ ,

0\leq u_n(x)\leq a_0(1-x)x^n

La série géométrique majorante converge. La série $\sum u_n(x)$ converge donc pour tout $x\in[0,1]$ .

2. Convergence normale

Pour $n\geq1$ ,

u_n'(x)=a_nx^{n-1}\bigl(n-(n+1)x\bigr)

Le maximum est atteint en $x=n/(n+1)$ , donc

\|u_n\|_\infty =a_n\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\frac{1}{n+1} \sim\frac{a_n}{en}

Par comparaison de séries positives,

\boxed{\sum u_n\text{ converge normalement } \Longleftrightarrow \sum\frac{a_n}{n}\text{ converge}}

3. Convergence uniforme

La suite décroissante et positive $(a_n)$ converge vers un réel $\ell\geq0$ . Pour le reste,

R_N(x)=(1-x)\sum_{n=N+1}^{+\infty}a_nx^n

Si $\ell=0$ , alors, par décroissance,

0\leq R_N(x) \leq a_{N+1}(1-x)\sum_{n=N+1}^{+\infty}x^n =a_{N+1}x^{N+1}\leq a_{N+1}

Donc $\|R_N\|_\infty\to0$ et la convergence est uniforme.

Si $\ell>0$ , alors

R_N(x)\geq\ell(1-x)\sum_{n=N+1}^{+\infty}x^n =\ell x^{N+1}

En prenant $x_N=1-1/N$ , on obtient $R_N(x_N)\geq\ell(1-1/N)^{N+1}\to\ell/e$ , ce qui exclut la convergence uniforme.

\boxed{\sum u_n\text{ converge uniformément sur }[0,1] \Longleftrightarrow a_n\longrightarrow0}

Exercice 4—Somme des inverses des carrés et périodicité

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

On définit, pour $x\in D=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}$ ,

f(x)=\frac1{x^2} +\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{(x-n)^2} +\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{(x+n)^2}

Montrer que $f$ est continue sur $D$ .
Montrer que $f$ est $1$ -périodique.
Montrer que

f\!\left(\frac{x}{2}\right) +f\!\left(\frac{x+1}{2}\right)=4f(x)

Soit $g$ continue sur $\mathbb{R}$ , 1-périodique et vérifiant la même relation. Montrer que $g=0$ .
Montrer que $x\mapsto f(x)-\dfrac{\pi^2}{\sin^2(\pi x)}$ est prolongeable par continuité en zéro.
En déduire une expression explicite de $f$ .

Indication›

Regrouper la somme sous la forme $\sum_{n\in\mathbb{Z}}1/(x-n)^2$ et séparer les indices pairs et impairs.

Pour l’unicité, utiliser la norme uniforme d’une fonction continue et périodique.

Corrigé›

1. Continuité

Sur tout segment compact ne rencontrant pas $\mathbb{Z}$ , les termes sont dominés, à partir d’un certain rang, par une constante multiple de $1/n^2$ . La série converge donc normalement sur tout compact de $D$ .

\boxed{f\in C^0(D)}

2. Périodicité

En écrivant

f(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac1{(x-n)^2}

et en effectuant le changement d’indice $m=n-1$ ,

f(x+1)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac1{(x+1-n)^2} =\sum_{m\in\mathbb{Z}}\frac1{(x-m)^2}=f(x)

3. Relation fonctionnelle

La première somme sélectionne les entiers pairs et la seconde les entiers impairs :

\begin{aligned} f\!\left(\frac{x}{2}\right) &=4\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac1{(x-2n)^2},\\ f\!\left(\frac{x+1}{2}\right) &=4\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac1{(x-(2n-1))^2}. \end{aligned}

En ajoutant,

\boxed{f\!\left(\frac{x}{2}\right) +f\!\left(\frac{x+1}{2}\right)=4f(x)}

4. Unicité

Une fonction continue et 1-périodique est bornée. En prenant les normes uniformes dans la relation,

4\|g\|_\infty\leq2\|g\|_\infty

Donc $\|g\|_\infty=0$ , ainsi $g=0$ .

5. Prolongement en zéro

Posons

h(x)=f(x)-\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi x)}

Lorsque $x\to0$ ,

\frac1{x^2}-\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi x)} \longrightarrow-\frac{\pi^2}{3}

Les deux séries restantes sont continues au voisinage de zéro et leur valeur en zéro est $2\sum_{n\geq1}1/n^2$ . La fonction $h$ se prolonge donc continûment en zéro.

6. Identification

La fonction $x\mapsto\pi^2/\sin^2(\pi x)$ est 1-périodique et vérifie la même relation fonctionnelle. La différence prolongée $h$ est donc continue, 1-périodique et vérifie cette relation. La question 4 donne $h=0$ .

\boxed{\forall x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}, \qquad f(x)=\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi x)}}

Exercice 5—Stabilité approchée de l’équation de Cauchy

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ continue. On suppose qu’il existe $M\geq0$ tel que

\forall x,y\in\mathbb{R},\qquad |f(x+y)-f(x)-f(y)|\leq M

Si $M=0$ , montrer qu’il existe $\alpha\in\mathbb{C}$ tel que $f(x)=\alpha x$ pour tout $x$ .
Pour $n\in\mathbb{N}$ , poser $v_n(x)=2^{-n}f(2^nx)$ . Montrer que $(v_n)$ converge uniformément vers une fonction continue $g$ .
Montrer que $g$ est la seule application linéaire telle que $f-g$ soit bornée.

Indication›

Appliquer l’inégalité avec $x=y=2^nt$ pour majorer $|v_{n+1}(t)-v_n(t)|$ .

Pour montrer que la limite est additive, appliquer l’inégalité à $2^nx$ et $2^ny$ , puis faire tendre $n$ vers l’infini.

Corrigé›

1. Cas exact

Si $M=0$ , alors $f(x+y)=f(x)+f(y)$ . On obtient successivement l’homogénéité pour les entiers, les rationnels, puis, par continuité, pour tous les réels. En posant $\alpha=f(1)$ ,

\boxed{f(x)=\alpha x}

2. Convergence uniforme

En appliquant l’hypothèse à $2^nx+2^nx$ ,

|f(2^{n+1}x)-2f(2^nx)|\leq M

Après division par $2^{n+1}$ ,

|v_{n+1}(x)-v_n(x)|\leq\frac{M}{2^{n+1}}

La série de fonctions $\sum(v_{n+1}-v_n)$ converge normalement, donc uniformément. La suite $(v_n)$ converge uniformément vers une fonction continue $g$ .

De plus,

|g(x)-f(x)| \leq\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{M}{2^{n+1}}=M

3. Linéarité et unicité

Pour tous réels $x,y$ ,

|v_n(x+y)-v_n(x)-v_n(y)|\leq\frac{M}{2^n}

En faisant tendre $n$ vers l’infini, on obtient $g(x+y)=g(x)+g(y)$ . La fonction $g$ est continue, donc linéaire sur $\mathbb{R}$ .

Soit $h$ une autre application linéaire telle que $f-h$ soit bornée. Alors $g-h$ est une application linéaire bornée sur $\mathbb{R}$ . Une telle application est nécessairement nulle.

\boxed{g\text{ est l’unique application linéaire telle que }f-g\text{ soit bornée}}

Exercice 6—Série de fonctions rationnelles

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $n\in\mathbb{N}^*$ , on pose

u_n(x)=\frac1{n+n^2x^2}

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)$ et étudier la parité de $f$ .
Montrer que la série ne converge pas normalement sur son domaine.
Montrer que $\int_0^{+\infty}f(x)\,dx$ est bien définie et l’exprimer comme la somme d’une série numérique.
Déterminer la limite puis un équivalent de $f$ en $+\infty$ .
Déterminer la limite puis un équivalent de $f$ en $0$ .

Indication›

Pour l’intégration terme à terme, calculer $\int_0^{+\infty}u_n(x)\,dx$ .

En zéro, comparer la somme à l’intégrale de la fonction décroissante $t\mapsto1/(t+t^2x^2)$ .

Corrigé›

1. Domaine et parité

Si $x\neq0$ , alors $u_n(x)\leq1/(n^2x^2)$ , donc la série converge. En $x=0$ , elle devient la série harmonique.

\boxed{D_f=\mathbb{R}^*,\qquad f(-x)=f(x)}

2. Absence de convergence normale

\|u_n\|_{\infty,\mathbb{R}^*} =\sup_{x\neq0}\frac1{n+n^2x^2}=\frac1n

La série harmonique diverge, donc la convergence n’est pas normale.

3. Intégration

\begin{aligned} \int_0^{+\infty}u_n(x)\,dx &=\frac1n\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+nx^2}\\ &=\frac1{n^{3/2}}\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}\\ &=\frac{\pi}{2n^{3/2}}. \end{aligned}

Les termes étant positifs, le théorème de convergence monotone permet l’intégration terme à terme :

\boxed{\int_0^{+\infty}f(x)\,dx =\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^{3/2}}}

4. Comportement en l’infini

Pour $x\geq1$ ,

0\leq x^2u_n(x)=\frac{x^2}{n+n^2x^2}\leq\frac1{n^2}

On peut passer à la limite terme à terme :

x^2f(x)\longrightarrow\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2} =\frac{\pi^2}{6}

\boxed{f(x)\sim_{+\infty}\frac{\pi^2}{6x^2}}

5. Comportement en zéro

Pour $x>0$ , la fonction $\varphi_x(t)=1/(t+t^2x^2)$ est positive et décroissante. Ainsi,

\int_1^{+\infty}\varphi_x(t)\,dt \leq f(x) \leq\frac1{1+x^2}+\int_1^{+\infty}\varphi_x(t)\,dt

\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t+t^2x^2} =-2\ln x+\ln(1+x^2)

Par encadrement,

\boxed{f(x)\longrightarrow+\infty, \qquad f(x)\sim_{x\to0}-2\ln|x|}

Exercice 7—Série de fonctions et défaut de continuité

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Montrer que, pour tout $x\in[0,1]$ ,

\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n

Montrer que la série de fonctions

\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{x^{2n+1}}{2n+1}-\frac{x^{n+1}}{2n+2}\right)

converge simplement sur $[0,1]$ . La convergence est-elle uniforme ?

Indication›

Pour la première question, intégrer une somme géométrique finie entre $0$ et $x$ .

Pour la seconde, calculer séparément les deux sommes lorsque $x<1$ , puis comparer la limite en $1^-$ à la valeur de la somme en $1$ .

Corrigé›

1. Développement du logarithme

Pour tout entier $N\geq1$ ,

\sum_{n=1}^{N}(-1)^{n+1}t^{n-1} =\frac{1-(-t)^N}{1+t}

En intégrant entre $0$ et $x\in[0,1]$ ,

\sum_{n=1}^{N}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n =\ln(1+x)+(-1)^{N+1}\int_0^x\frac{t^N}{1+t}\,dt

Le reste tend vers zéro, y compris pour $x=1$ . Donc

\boxed{\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n}

2. Convergence simple

Pour $0\leq x<1$ , les deux séries convergent absolument. On a

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} =\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n+1}}{2n+2} =-\frac12\ln(1-x)

La somme vaut donc, pour $x<1$ ,

S(x)=\frac12\ln(1+x)

En $x=1$ , la série devient

\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}\right)=\ln2

La convergence est donc simple sur $[0,1]$ , mais

\lim_{x\to1^-}S(x)=\frac12\ln2\neq\ln2=S(1)

La somme n’est pas continue en $1$ , alors que chaque terme est continu. La convergence n’est donc pas uniforme.

\boxed{\text{La série converge simplement mais pas uniformément sur }[0,1]}

Exercice 8—Régularité et développement en série entière

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $x\in]-1,1[$ , on pose

f(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+x}

Montrer que $f$ est bien définie.
Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ .
Montrer que $f$ est la somme d’une série entière.

Indication›

Utiliser le critère spécial des séries alternées pour la convergence.

Pour les dérivées d’ordre au moins un, la convergence normale sur $]-1,1[$ est immédiate. Puis appliquer la formule de Taylor avec reste.

Corrigé›

1. Définition

Pour $x\in]-1,1[$ , la suite $1/(n+x)$ est positive, décroissante et tend vers zéro. Le critère spécial des séries alternées assure la convergence.

2. Régularité

Posons $u_n(x)=(-1)^n/(n+x)$ . Pour tout $p\in\mathbb{N}$ ,

u_n^{(p)}(x)=\frac{(-1)^{n+p}p!}{(n+x)^{p+1}}

Pour $p\geq1$ et $x\in]-1,1[$ ,

|u_n^{(p)}(x)|\leq\frac{p!}{(n-1)^{p+1}}

La série des dérivées converge normalement. On peut dériver terme à terme à tout ordre :

\boxed{f^{(p)}(x)=p!\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+p}}{(n+x)^{p+1}}}

3. Série entière

Le critère spécial des séries alternées donne, pour tout $p\in\mathbb{N}$ et tout $x\in]-1,1[$ ,

|f^{(p)}(x)| \leq\frac{p!}{(x+2)^{p+1}}\leq p!

L’inégalité de Taylor entre zéro et $x$ donne

\left|f(x)-\sum_{k=0}^{p}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\right| \leq |x|^{p+1}

Le membre de droite tend vers zéro. Ainsi, pour $|x|<1$ ,

\boxed{f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+k}}{n^{k+1}}\right)x^k}

En particulier, $f(0)=1-\ln2$ .

Exercice 9—Série exponentielle et non-dérivabilité en zéro

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Déterminer le domaine de définition de

f(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x e^{-nx}}{\ln n}

Déterminer le domaine de définition de $f$ .
Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ .
Montrer que $f$ n’est pas dérivable en zéro.

Indication›

Écrire $f(x)=xg(x)$ , avec $g(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}e^{-nx}/\ln n$ .

Pour la dernière question, minorer $g(x)$ par une série logarithmique connue.

Corrigé›

1. Domaine de définition

Pour $x>0$ , la série converge car l’exponentielle impose une décroissance géométrique. En $x=0$ , chaque terme est nul, donc $f(0)=0$ .

Pour $x<0$ , le terme général ne tend pas vers zéro, puisque $e^{-nx}=e^{n|x|}$ .

\boxed{D_f=[0,+\infty[}

2. Régularité sur l’intervalle ouvert

Posons

g(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}{\ln n}, \qquad f(x)=xg(x)

Sur tout segment $[a,b]\subset]0,+\infty[$ ,

\sup_{x\in[a,b]} \left|\left(\frac{e^{-nx}}{\ln n}\right)'\right| =\frac{ne^{-na}}{\ln n}

La série correspondante converge. Le théorème de dérivation terme à terme donne $g\in C^1$ , donc $f\in C^1(]0,+\infty[)$ .

3. Non-dérivabilité en zéro

Comme $f(0)=0$ ,

\frac{f(x)-f(0)}x =g(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}{\ln n}

Pour $n\geq2$ , on a $\ln n\leq n$ , donc

g(x)\geq\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}n =-\ln(1-e^{-x})-e^{-x}

Le membre de droite tend vers $+\infty$ lorsque $x\to0^+$ . Ainsi,

\boxed{\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}x=+\infty}

La fonction $f$ n’est donc pas dérivable en zéro.

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