Suites et séries

Soit $(u_n)_{n\ge1}$ une suite réelle. On pose $v_n=\frac{u_1+\cdots+u_n}{n}$.

1. Montrer que, si la série $\sum u_n$ ne diverge pas grossièrement, la série $\sum v_n$ ne diverge pas grossièrement non plus.

2. Si $\sum u_n$ converge, peut-on conclure quant à la nature de $\sum v_n$ ?

3. On suppose que $\sum u_n^2$ converge. En posant $v_0=0$, montrer que

En déduire la convergence de $\sum v_n^2$ et l’inégalité

Soit $f\in\mathcal C^1(\mathbb R_+,\mathbb R_+^*)$.

1. On suppose que $f'(x)/f(x)\to-\infty$ lorsque $x\to+\infty$. Déterminer la limite de $f(n+1)/f(n)$ et en déduire la convergence de $\sum f(n)$.

2. On suppose maintenant que $f'(x)/f(x)\to\alpha<0$. Déterminer la limite de $f(n+1)/f(n)$. Étudier la nature de $\sum f(n)$, puis celle de $\sum n^\beta f(n)$ pour $\beta\in\mathbb R$.

Étudier, suivant $\alpha\in\mathbb R$, l’existence des termes puis la nature des séries $\sum U_n$ et $\sum V_n$, où

Pour $k\in\mathbb N$, on pose

Justifier l’existence de $S_k$, puis en donner un équivalent lorsque $k\to+\infty$. Pour $k=0$, on convient que le terme $n=0$ vaut $1$.

Pour $n\ge1$, on pose $x_n=\min\{x>0:\cos(nx)=e^{-x}\}$.

1. Justifier l’existence de $x_n$.

2. Déterminer la limite de $(x_n)$.

3. Donner un équivalent de $x_n$ lorsque $n\to+\infty$.

Pour $n\ge1$ et $x\ge0$, on pose $f_n(x)=\sum_{k=1}^n x^k/k-1$.

1. Montrer qu’il existe un unique $x_n>0$ tel que $f_n(x_n)=0$.

2. Montrer que $(x_n)$ est strictement monotone et convergente.

3. Montrer qu’il existe $\alpha\in]0,1[$ tel que $x_n\le\alpha$ pour tout $n\ge2$.

4. Montrer que $(f_n)$ converge simplement sur $]0,1[$ vers une fonction $f$ de classe $\mathcal C^\infty$, à expliciter.

5. Déterminer $\ell=\lim x_n$.

6. Montrer qu’il existe $c_n\in]\ell,x_n[$ tel que $-f_n(\ell)=f_n'(c_n)(x_n-\ell)$.

7. En déduire que $x_n-\ell\sim-f_n(\ell)/f'(\ell)$.

Soit $(u_n)_{n\ge0}$ une suite strictement positive, et $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$.

1. Si $S_n\to+\infty$, montrer que $\sum u_n/S_n^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

2. Si $S_n\to S\in\mathbb R_+^*$, on pose $R_n=S-S_n$. Montrer que $\sum_{n\ge1}u_n/R_{n-1}^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha<1$.

Soient $0<a<b$. On définit $x_0=a$, $x_1=b$ et

Étudier la convergence de $(x_n)$.

Étudier la nature de la série

Soit $(u_n)$ une suite à termes positifs et $v_n=\int_0^{u_n}\frac{dt}{1+t^3}$.

1. Montrer que $v_n\to0$ si et seulement si $u_n\to0$.

2. Montrer que $\sum v_n$ et $\sum u_n$ sont de même nature.

3. Est-ce encore vrai si les $u_n$ appartiennent à $]-1,+\infty[$ ?

Soit $(u_n)$ une suite complexe telle que $\sum u_n$ converge absolument. Soit $\varphi:\mathbb N\to\mathbb N$ strictement croissante. Montrer que $\sum u_{\varphi(n)}$ converge absolument.

Soit $(u_n)_{n\ge0}$ une suite complexe telle que $\sum_{n\ge0}|u_n|$ converge. On suppose que

Montrer que tous les termes de la suite sont nuls.

1. Soit $(u_n)$ une suite strictement positive et croissante. Montrer que la série $\sum_{n\ge0}(u_{n+1}-u_n)/u_n$ converge si et seulement si $(u_n)$ converge.

2. Soit $(a_n)$ une suite positive telle que $\sum a_n$ diverge. Montrer qu’il existe une suite positive $(b_n)$ telle que $b_n=o(a_n)$ et $\sum b_n$ diverge.

Pour $n\ge1$, montrer que l’équation $xe^x=n$ admet une unique solution réelle $x_n$.

Déterminer la limite de $(x_n)$ et un équivalent de $x_n$.

Soit $a\in\mathbb C$ tel que $\operatorname{Re}(a)>0$ et $\operatorname{Im}(a)>0$. On définit $z_0=a$ puis

Étudier la suite $(z_n)$.

Soit $(u_n)_{n\ge0}$ une suite réelle positive telle que $\sum u_n$ converge. Montrer que

Soit $(x_n)_{n\ge1}$ une suite positive vérifiant

Montrer que $(x_n)$ converge.

On définit $x_0=0$ et $x_{n+1}=x_n/2+1/(n+1)$. Déterminer un équivalent de $x_n$ lorsque $n\to+\infty$.

Pour $n\ge1$, montrer que l’équation $u^5+nu=1$ admet une unique solution réelle $u_n$.

Étudier $(u_n)$ et déterminer un développement asymptotique de $u_n$ à deux termes. En déduire la limite de $(nu_n)^{n^5}$.

Soit $(a_n)_{n\ge0}$ une suite réelle. Pour $(u_0,v_0)\ne(0,0)$, on définit

1. Montrer que, si $\sum|a_n|$ converge, alors $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent.

2. Montrer que, si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent, alors $\sum a_n$ converge.

1. Montrer que, pour tout $n\ge1$, il existe un unique $x_n>0$ tel que

2. Étudier la nature de la série $\sum x_n$.

3. Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n\ge1}x_nt^n$.