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Séries entières

Cette sélection réunit des exercices d’oraux du concours Mines-Ponts en filière PC. Cherchez d’abord à partir de l’énoncé, puis consultez les indications et les corrigés disponibles lorsque vous en avez besoin.

19 exercices disponibles

Exercices 2026

Exercice 1—Inverse d’une série entière

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $(a_n)_{n\ge0}$ une suite complexe telle que $a_0=1$ et que la série entière $\sum a_nx^n$ ait un rayon de convergence strictement positif.

1. Montrer qu’il existe une unique suite $(b_n)$ telle que $b_0=1$ et, pour $n\ge1$ , $\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}=0$ .

2. Montrer qu’il existe $s>0$ tel que $|a_n|\le s^n$ pour tout $n$ .

3. En déduire que $|b_n|\le(2s)^n$ pour tout $n$ .

4. Montrer que, si $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$ et $f(0)\ne0$ , alors $1/f$ l’est aussi.

Indication›

Corrigé›

Exercice 2—Fonction définie par une intégrale sur [0,1]

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $x\in\mathbb R$ , on pose

f(x)=\int_0^1\left(1+\frac{x}{t^{xt}}\right)dt.

Montrer que $f$ est bien définie sur $\mathbb R$ et qu’elle est développable en série entière. Déterminer ce développement et son rayon de convergence.

Indication›

Corrigé›

Exercice 3—Série de coefficients (−1)ⁿ ln(n)

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $n\ge1$ , on pose $a_n=(-1)^n\ln n$ .

1. Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$ .

2. Déterminer le domaine de définition de $S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_nx^n$ .

3. Calculer $\lim_{x\to1^-}S(x)$ .

Indication›

Corrigé›

Exercice 4—Suite de Fibonacci

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

On définit $F_0=0$ , $F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ .

1. Exprimer $F_n$ en fonction de $n$ .

2. Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière $\sum_{n\ge0}F_nx^n$ .

Indication›

Corrigé›

Exercice 5—Prolongement de exp(−1/x²) en 0

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

On définit $f(0)=0$ et $f(x)=e^{-1/x^2}$ pour $x\ne0$ .

Montrer que $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R$ . Est-elle développable en série entière au voisinage de $0$ ?

Indication›

Corrigé›

Exercice 6—Séries liées au nombre de diviseurs d(n)

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $n\ge1$ , on note $d(n)$ le nombre de diviseurs positifs de $n$ . On pose

f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}d(n)x^n,\qquad g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{d(n)}n x^n.

1. Déterminer les domaines de définition de $f$ et de $g$ .

2. Montrer que, pour $x\in]-1,1[$ ,

f(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^k}{1-x^k},\qquad g(x)=-\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\ln(1-x^k)}k.

Indication›

Corrigé›

Exercice 7—Série Σ (−1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾⸍² xⁿ/n

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Déterminer le rayon de convergence, la somme sur l’intervalle ouvert de convergence et la convergence aux extrémités de la série entière

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}n x^n.

Indication›

Corrigé›

Exercice 8—Série de coefficients aₙ = intégrale de (1+t²)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $n\in\mathbb N$ , on pose

a_n=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{(1+t^2)^{n+1}}.

Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière $\sum_{n\ge0}a_nx^n$ .

Indication›

Corrigé›

Exercice 9—Dérivation terme à terme de la série géométrique

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

On pose $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n$ . Sur quel ensemble peut-on dériver cette série terme à terme ? Justifier soigneusement.

Indication›

Corrigé›

Exercices 2023

Exercice 1—Rayon de convergence et décimales de π

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on note $a_n$ la $n$ -ième décimale de $\pi$ . Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n\geq0}a_nz^n$ .

Indication›

Les coefficients sont bornés, ce qui donne une première minoration du rayon.

Examiner ensuite la convergence en $z=1$ . Une suite de chiffres décimaux qui tend vers zéro est nécessairement nulle à partir d’un certain rang.

Corrigé›

Comme $a_n\in\{0,1,\ldots,9\}$ , la suite $(a_n)$ est bornée. Pour tout $|z|<1$ ,

\sum_{n=0}^{+\infty}|a_nz^n| \leq 9\sum_{n=0}^{+\infty}|z|^n<+\infty

Le rayon de convergence vérifie donc $R\geq1$ .

Si la série convergait en $z=1$ , son terme général vérifierait $a_n\to0$ . Comme les $a_n$ sont des entiers, cela signifierait qu’ils sont tous nuls à partir d’un certain rang. Le développement décimal de $\pi$ serait alors fini, donc $\pi$ serait rationnel, ce qui est faux.

La série diverge donc en $z=1$ , d’où $R\leq1$ .

\boxed{R=1}

Exercice 2—Équation fonctionnelle et produit infini

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $q\in(-1,1)$ et $f\in C^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ tels que $f(0)=1$ et

f(x)=(1-qx)f(qx)\qquad(x\in\mathbb{R})

La fonction $f$ est-elle développable en série entière ?

Indication›

f(x)=(1-qx)f(qx)

Supposer d’abord que $f(x)=\sum_{k\geq0}a_kx^k$ et identifier les coefficients.

Puis itérer l’équation fonctionnelle et faire tendre le nombre d’itérations vers l’infini.

Corrigé›

f(x)=(1-qx)f(qx)

1. Recherche d’une solution développable en série entière

Supposons

f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_kx^k

Alors

\begin{aligned} (1-qx)f(qx) &=\sum_{k=0}^{+\infty}a_kq^kx^k -\sum_{k=1}^{+\infty}a_{k-1}q^kx^k\\ &=a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}(a_k-a_{k-1})q^kx^k. \end{aligned}

Par identification, pour tout $k\geq1$ ,

a_k=(a_k-a_{k-1})q^k, \qquad a_k=\frac{q^k}{q^k-1}a_{k-1}

Comme $a_0=1$ ,

a_k= \frac{q^{k(k+1)/2}} {(q-1)(q^2-1)\cdots(q^k-1)}

Pour $q\neq0$ ,

\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| =\frac{|q|^{k+1}}{|1-q^{k+1}|}\longrightarrow0

Le rayon de convergence est donc infini. Lorsque $q=0$ , l’équation impose directement $f\equiv1$ , qui est également entière.

2. Unicité parmi les fonctions continues

En itérant la relation, on obtient

f(x)=f(q^nx)\prod_{k=1}^{n}(1-q^kx)

Pour $x$ fixé, la série $\sum_{k\geq1}\ln(1-q^kx)$ converge à partir d’un certain rang, car $\ln(1-q^kx)\sim-q^kx$ . Le produit infini converge donc.

De plus, $q^nx\to0$ et la continuité de $f$ donne $f(q^nx)\to f(0)=1$ . Ainsi,

\boxed{ f(x)=\prod_{k=1}^{+\infty}(1-q^kx) =\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{q^{k(k+1)/2}} {(q-1)(q^2-1)\cdots(q^k-1)}x^k}

La fonction demandée est donc bien développable en série entière sur tout $\mathbb{R}$ .

Exercice 3—Développement de arccos(1 − x) / √x

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Développer en série entière sur $](0,1)$ la fonction $x\longmapsto\frac{\arccos(1-x)}{\sqrt{x}}$ .
Donner une expression simple de la somme de cette série entière sur $(-1,0)$ .

Indication›

Poser $A(x)=\arccos(1-x)$ , développer $A'(x)$ , puis intégrer terme à terme.

Sur $(-1,0)$ , poser $B(x)=\sqrt{-x}\,S(x)$ et calculer $B'(x)$ .

Corrigé›

1. Développement sur (0,1)

Posons $A(x)=\arccos(1-x)$ . Alors

A'(x)=\frac1{\sqrt{1-(1-x)^2}} =\frac1{\sqrt{2x}}\frac1{\sqrt{1-x/2}}

Pour $|u|<1$ ,

(1-u)^{-1/2} =\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}u^n

Donc, pour $0<x<1$ ,

A'(x)=\frac1{\sqrt2} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{8^n(n!)^2}x^{n-1/2}

L’intégration terme à terme sur un segment inclus dans $[0,1)$ donne, puisque $A(0)=0$ ,

A(x)=\sqrt2 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{8^n(n!)^2(2n+1)}x^{n+1/2}

Ainsi,

\boxed{ \frac{\arccos(1-x)}{\sqrt{x}} =\sqrt2\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{8^n(n!)^2(2n+1)}x^n}

2. Somme sur (−1,0)

Notons

S(x)=\sqrt2\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{8^n(n!)^2(2n+1)}x^n

Pour $-1<x<0$ , posons $B(x)=\sqrt{-x}\,S(x)$ . La dérivation terme à terme conduit à

B'(x)=-\frac1{\sqrt{x(x-2)}}

Comme $B(x)\to0$ lorsque $x\to0^-$ , on obtient

B(x)=\operatorname{argch}(1-x) =\ln\!\left(1-x+\sqrt{x(x-2)}\right)

Par conséquent,

\boxed{ S(x)=\frac{\ln\!\left(1-x+\sqrt{x(x-2)}\right)}{\sqrt{-x}} \qquad(-1<x<0)}

Exercice 4—Série entière et équation différentielle

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé réservé

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Exercice 5—Deux développements de eˣ sin x

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Développer $x\mapsto e^x\sin x$ en série entière de deux façons différentes.
En déduire, pour tout $n\geq1$ ,

\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!(n-2k-1)!} =\frac{(\sqrt2)^n}{n!}\sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right)

Indication›

e^x\sin x=\operatorname{Im}\!\left(e^{(1+i)x}\right)

Comparer ce développement à celui obtenu par produit de Cauchy entre les séries de $e^x$ et de $\sin x$ .

Corrigé›

\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!(n-2k-1)!} =\frac{(\sqrt2)^n}{n!}\sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right)

1. Méthode complexe

\begin{aligned} e^x\sin x &=\operatorname{Im}\!\left(e^{(1+i)x}\right)\\ &=\operatorname{Im}\!\left( \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(\sqrt2)^n e^{in\pi/4}}{n!}x^n \right)\\ &=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(\sqrt2)^n}{n!}\sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right)x^n. \end{aligned}

2. Produit de Cauchy

e^x=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{x^m}{m!}, \qquad \sin x=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}

Le coefficient de $x^n$ dans le produit vaut

\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!(n-2k-1)!}

L’unicité du développement en série entière donne finalement

\boxed{ \sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!(n-2k-1)!} =\frac{(\sqrt2)^n}{n!}\sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right)}

Exercice 6—Coefficients consécutifs de exp(P)

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ de degré $2$ .

Montrer que $x\mapsto e^{P(x)}$ est la somme d’une série entière sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que la suite de ses coefficients ne possède pas deux termes consécutifs nuls.

Indication›

Écrire $P(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ avec $\alpha\neq0$ .

Utiliser $f'=(2\alpha x+\beta)f$ et identifier les coefficients.

Corrigé›

1. Développement entier

Écrivons

P(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma, \qquad \alpha\neq0

Alors

e^{P(x)}=e^\gamma e^{\beta x}e^{\alpha x^2}

Les deux derniers facteurs sont sommes de séries entières de rayon infini. Leur produit de Cauchy a donc également un rayon infini.

2. Absence de deux coefficients nuls consécutifs

Posons

f(x)=e^{P(x)}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n

Comme $f'=(2\alpha x+\beta)f$ , l’identification donne

(n+1)a_{n+1}=\beta a_n+2\alpha a_{n-1} \qquad(n\geq1)

Supposons que $a_p=a_{p+1}=0$ pour un certain $p\geq1$ . La relation au rang $p$ donne alors

2\alpha a_{p-1}=0

Comme $\alpha\neq0$ , on obtient $a_{p-1}=0$ . En répétant le raisonnement, on arrive à $a_0=0$ , ce qui est impossible puisque $a_0=e^\gamma>0$ .

\boxed{(a_n)\text{ ne possède pas deux coefficients consécutifs nuls}}

Exercice 7—Fonction génératrice d’une récurrence

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

On définit la suite $(a_n)$ par

a_0=a_1=1, \qquad a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}\quad(n\geq2)

Montrer que $a_n\leq n!$ .
Montrer que $\sum_{n\geq0}\frac{a_n}{n!}x^n$ a un rayon de convergence au moins égal à $1$ .
En notant $S$ sa somme sur $(-1,1)$ , montrer que $S'(x)=(1+x)S(x)$ .
En déduire une expression de $a_n$ .

Indication›

Dériver la série terme à terme, puis utiliser la relation de récurrence.

Résoudre l’équation différentielle avec $S(0)=1$ , puis effectuer un produit de Cauchy.

Corrigé›

1. Majoration

La propriété est vraie aux rangs $0$ et $1$ . Si elle est vraie jusqu’au rang $n-1$ , alors

a_n\leq(n-1)!+(n-1)(n-2)! =2(n-1)!\leq n!

2. Rayon

Pour tout réel $x$ ,

0\leq\frac{a_n}{n!}|x|^n\leq|x|^n

La série converge donc absolument pour $|x|<1$ . Son rayon est au moins égal à $1$ .

3. Équation vérifiée par S

\begin{aligned} S'(x) &=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{(n-1)!}x^{n-1}\\ &=1+\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}{(n-1)!}x^{n-1}\\ &=S(x)+xS(x). \end{aligned}

Ainsi,

S'(x)=(1+x)S(x), \qquad S(0)=1

Donc

\boxed{S(x)=e^{x+x^2/2}}

4. Expression de aₙ

e^{x+x^2/2} =\left(\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{x^j}{j!}\right) \left(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^{2k}}{2^kk!}\right)

Le coefficient de $x^n$ vaut donc

\frac{a_n}{n!} =\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac1{2^kk!(n-2k)!}

\boxed{ a_n=n!\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac1{2^kk!(n-2k)!}}

Exercice 8—Séries trigonométriques à coefficients 1/n

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $\alpha>0$ .

Déterminer les rayons de convergence de

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(n\alpha)}n x^n, \qquad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(n\alpha)}n x^n

Expliciter la somme de la première série sur $(-1,1)$ .

Indication›

Les coefficients sont majorés par $1/n$ . Pour montrer que le rayon ne dépasse pas $1$ , raisonner par l’absurde sur la limite de $\cos(n\alpha)$ ou de $\sin(n\alpha)$ .

Dériver la première somme et utiliser une série géométrique complexe.

Corrigé›

1. Rayons de convergence

Comme les coefficients sont en valeur absolue inférieurs à $1/n$ , les deux rayons sont au moins égaux à $1$ .

Si le rayon de la série en cosinus était strictement supérieur à $1$ , alors pour un réel $r>1$ dans le disque de convergence, on aurait $\cos(n\alpha)r^n/n\to0$ , donc $\cos(n\alpha)\to0$ . Mais

\cos(2n\alpha)=2\cos^2(n\alpha)-1

donnerait simultanément $0=-1$ , ce qui est impossible. Ainsi,

R_{\cos}=1

Si $\alpha\notin\pi\mathbb{Z}$ , le même raisonnement appliqué à $\sin((n+1)\alpha)$ montre que le rayon de la seconde série vaut aussi $1$ . En effet,

\sin((n+1)\alpha) =\sin(n\alpha)\cos\alpha+\cos(n\alpha)\sin\alpha

et une convergence de $\sin(n\alpha)$ vers zéro imposerait celle de $\cos(n\alpha)$ vers zéro. En revanche, si $\alpha\in\pi\mathbb{Z}$ , tous les coefficients en sinus sont nuls.

\boxed{ R_{\cos}=1, \qquad R_{\sin}=\begin{cases} 1,&\alpha\notin\pi\mathbb{Z},\\ +\infty,&\alpha\in\pi\mathbb{Z}. \end{cases}}

2. Somme de la première série

Pour $|x|<1$ , posons

F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(n\alpha)}n x^n

Alors

\begin{aligned} F'(x) &=\sum_{n=1}^{+\infty}\cos(n\alpha)x^{n-1}\\ &=\operatorname{Re}\!\left(\frac{e^{i\alpha}}{1-xe^{i\alpha}}\right)\\ &=\frac{\cos\alpha-x}{1-2x\cos\alpha+x^2}. \end{aligned}

Comme $F(0)=0$ ,

\boxed{ F(x)=-\frac12\ln\!\left(1-2x\cos\alpha+x^2\right) \qquad(|x|<1)}

Exercice 9—Somme d’une série avec sinh(n)

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière

\sum_{n=0}^{+\infty}\sinh(n)\frac{x^{2n}}{(2n)!}

Indication›

\sum_{n=0}^{+\infty}\sinh(n)\frac{x^{2n}}{(2n)!}

Utiliser $\sinh(n)=(e^n-e^{-n})/2$ et reconnaître deux séries de cosinus hyperboliques.

Corrigé›

S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\sinh(n)\frac{x^{2n}}{(2n)!}

Le quotient des termes absolus vérifie, pour $x$ fixé,

\frac{\sinh(n+1)|x|^{2n+2}/(2n+2)!} {\sinh(n)|x|^{2n}/(2n)!} =\frac{\sinh(n+1)}{\sinh(n)} \frac{x^2}{(2n+2)(2n+1)}\longrightarrow0

La série converge donc pour tout réel ou complexe $x$ :

R=+\infty

De plus,

\begin{aligned} S(x) &=\frac12\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(\sqrt e\,x)^{2n}}{(2n)!} -\frac12\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(x/\sqrt e)^{2n}}{(2n)!}\\ &=\frac12\cosh(\sqrt e\,x) -\frac12\cosh\!\left(\frac{x}{\sqrt e}\right). \end{aligned}

\boxed{ S(x)=\frac12\left[ \cosh(\sqrt e\,x)-\cosh\!\left(\frac{x}{\sqrt e}\right) \right]}

Exercice 10—Comportement au bord d’une série entière

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle telle que $na_n\to0$ .

Montrer que la série entière $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence supérieur ou égal à $1$ .
Montrer que, lorsque $x\to1^-$ ,

\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n =o\!\left(\ln(1-x)\right)

Indication›

Écrire $a_n=\varepsilon_n/n$ , avec $\varepsilon_n\to0$ .

Séparer la somme en une partie finie et une queue, puis utiliser $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)$ .

Corrigé›

1. Rayon de convergence

Comme $na_n\to0$ , il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $n\geq1$ ,

|a_n|\leq\frac Cn

Pour $|x|<1$ ,

\sum_{n=1}^{+\infty}|a_nx^n| \leq C\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{|x|^n}{n}<+\infty

Le rayon de convergence vérifie donc

\boxed{R\geq1}

2. Comportement lorsque x tend vers 1

Posons $\varepsilon_n=na_n$ , de sorte que $\varepsilon_n\to0$ . Pour tout $\eta>0$ , choisissons $N$ tel que $|\varepsilon_n|\leq\eta$ pour $n>N$ .

Pour $0<x<1$ ,

\left|\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\right| \leq\left|\sum_{n=0}^{N}a_nx^n\right| +\eta\sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}

Le premier terme est borné par une constante $C_N$ , tandis que

\sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{x^n}{n} \leq-\ln(1-x)

En divisant par $-\ln(1-x)$ ,

\frac{\left|\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\right|} {-\ln(1-x)} \leq\frac{C_N}{-\ln(1-x)}+\eta

Lorsque $x\to1^-$ , le premier terme tend vers zéro. Puisque $\eta>0$ est arbitraire,

\boxed{ \sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n =o\!\left(-\ln(1-x)\right) =o\!\left(\ln(1-x)\right)}

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