Réduction

Soient $n\ge3$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ tels que $A^2=A$. On note $r=\operatorname{rg}A$ et

1. Déterminer le nombre de droites vectorielles stables par $A$.

2. Déterminer la dimension de $E$.

Caractériser les matrices $A\in\mathcal M_2(\mathbb R)$ inversibles telles que la famille $(A^m)_{m\in\mathbb Z}$ soit bornée.

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f\in\mathcal L(E)$. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement s’il existe $n$ hyperplans $H_1,\ldots,H_n$, stables par $f$, dont l’intersection est $\{0\}$.

Soit $D:\mathbb R[X]\to\mathbb R[X]$, $P\mapsto P'$.

1. Montrer que $\mathbb R_n[X]$ est stable par $D$ et donner la matrice de la restriction dans la base canonique.

2. Déterminer tous les sous-espaces de $\mathbb R[X]$ stables par $D$.

Pour $k\in\mathbb C$, on considère

1. Étudier la diagonalisabilité de $A$.

2. Lorsque $A$ est diagonalisable, déterminer la dimension de $\{M\in\mathcal M_4(\mathbb C):AM=MA\}$.

Soient $0<a_1<\cdots<a_n$ et $A=(A_{ij})\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ définie par $A_{ii}=0$ et $A_{ij}=a_j$ lorsque $i\ne j$.

1. Caractériser les valeurs propres de $A$ à l’aide de l’équation

2. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?

Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ tels que $AB=BA^2$ et $|\lambda|\ne1$ pour toute valeur propre $\lambda$ de $A$. Montrer que $A$ et $B$ possèdent un vecteur propre commun.

Soit $n\ge2$. On note $\mathcal N$ l’ensemble des matrices nilpotentes de $\mathcal M_n(\mathbb C)$.

1. Montrer qu’une matrice de rang $1$ et de trace nulle appartient à $\mathcal N$.

2. $\mathcal N$ est-il fermé ? Est-il ouvert ?

3. Soient $A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb C)$ et $B\in\mathcal N$ tels que $AB=BA$. Montrer que $\det(A+B)=\det A$.

Pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$, on pose $\rho(A)=\max_{\lambda\in\operatorname{Sp}A}|\lambda|$.

1. L’application $\rho$ est-elle une norme ?

2. Si $A^p\to0$ lorsque $p\to+\infty$, montrer que $\rho(A)<1$.

3. Pour $k$ fixé et $|\lambda|<1$, montrer que $\binom mk\lambda^{m-k}\to0$.

Soient $E$ de dimension $N\ge1$, $m=\lfloor N/3\rfloor$ et $u\in\mathcal L(E)$ tels que $\operatorname{rg}u\ge N-m$ et $u^3=0$.

1. Calculer $\operatorname{rg}(u^2)$ et montrer que $N=3m$.

2. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de $u$ est

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ de rang $1$ et de trace nulle. Montrer que $A$ est semblable à la matrice élémentaire $E_{1,n}$.

Soit $n\ge2$. On considère la matrice $M$ dont les coefficients $M_{i,i+1}$, pour $1\le i<n$, et $M_{n,1}$ valent $1$, tous les autres étant nuls.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $M$ sur $\mathbb C$.

2. Soient $a_0,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb C$ et $A=\sum_{k=0}^{n-1}a_kM^k$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ? Déterminer son spectre.

3. Calculer la trace et le déterminant de $A$.

4. Soit $Q\in\mathbb C[X]$. À $P\in\mathbb C_{n-1}[X]$, on associe le reste de la division euclidienne de $QP$ par $X^n-1$. Montrer que cette application est un endomorphisme et déterminer sa matrice dans la base canonique.

Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ telles que $AB=0$. Montrer que $A$ et $B$ possèdent un vecteur propre commun.

Soit $A\in\mathcal M_d(\mathbb R)$.

1. Montrer qu’il existe un unique polynôme unitaire $P$ de degré minimal parmi les polynômes non nuls qui annulent $A$.

2. Soient $s\in\mathbb N$ et $T\in\mathbb R[X]$ tel que $T(0)\ne0$. Montrer qu’il existe $U,V\in\mathbb R[X]$ tels que $X^sU+TV=1$.

3. On écrit $P=X^rQ$ avec $Q(0)\ne0$. Montrer que $\mathbb R^d=\ker(A^r)\oplus\ker(Q(A))$.

4. En déduire que $A$ est semblable à une matrice diagonale par blocs dont un bloc est nilpotent et l’autre inversible.

1. Pour $m\in\mathbb R$, à quelle condition la matrice $\begin{pmatrix}m&m^2\\0&m\end{pmatrix}$ est-elle diagonalisable ?

2. Soient $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ et $N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}$. Pour $Q\in\mathbb R[X]$, exprimer $Q(N)$ à l’aide de $M$, de $Q(M)$ et de $Q'(M)$.

3. Montrer que $N$ est diagonalisable si et seulement si $M=0$.

Déterminer les matrices $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que $A^{2026}=A^{10}$ et $\operatorname{tr}(A)=n$.

On pose $P=X^5-2X^4-2X^3+X^2+4X+4$.

1. Chercher les racines de $P$ parmi $-2,-1,0,1,2$, puis factoriser $P$ dans $\mathbb R[X]$ et dans $\mathbb C[X]$.

2. Déterminer les entiers $n\ge1$ pour lesquels il existe $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telle que $\det(M)=\pm1$, $\operatorname{tr}(M^3)=0$ et $P(M)=0$.

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $F$ un sous-espace et $u\in\mathcal L(E)$ nilpotent. On suppose $u(F)\subset F$ et $E=F+\operatorname{Im}(u)$. Montrer que $E=F$.

Soient $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$ et $f:\mathcal M_2(\mathbb R)\to\mathcal M_2(\mathbb R)$ définie par $f(M)=AM-MA$.

1. Calculer $f(M)$ pour $M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$.

2. L’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

3. Déterminer $f^n$ pour $n\ge1$.

Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ dont toutes les valeurs propres complexes sont imaginaires pures.

1. Montrer que $n$ est pair.

2. Que peut-on dire du spectre de $M^2$ ?

3. Montrer que les valeurs propres de $M^2$ ont toutes une multiplicité algébrique paire.

4. Montrer que, si $M$ est semblable à une matrice antisymétrique réelle, alors $M^2$ est diagonalisable.

On suppose désormais que $M^2$ est diagonalisable.

5. Montrer que $M$ est diagonalisable sur $\mathbb C$.

6. Montrer que $M$ est semblable sur $\mathbb C$ à une matrice antisymétrique réelle.

7. Montrer que cette similitude peut être réalisée sur $\mathbb R$.

Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie non nulle et $u\in\mathcal L(E)$ sans valeur propre réelle.

Montrer qu’il existe $P\in\mathbb R[X]$ de degré exactement $2$ tel que $\ker(P(u))\ne\{0\}$.

Deux urnes $U_1,U_2$ contiennent au total $n\ge1$ boules. À chaque étape, on tire uniformément un entier $i\in\{1,\ldots,n\}$, indépendamment des tirages précédents. Si $U_1$ contient $j$ boules et $i\le j$, on déplace une boule de $U_1$ vers $U_2$ ; sinon, on effectue le déplacement inverse.

On note $Z_p$ le nombre de boules dans $U_1$ après $p$ étapes et $Y_p=(\mathbb P(Z_p=0),\ldots,\mathbb P(Z_p=n))^{\mathsf T}$.

1. Déterminer une matrice $A$ telle que $Y_{p+1}=AY_p$.

2. Dans la base $(1,X,\ldots,X^n)$ de $\mathbb R_n[X]$, montrer que $A$ représente l’endomorphisme

3. Si $T(P)=\lambda P$, montrer que $P$ vérifie $(1-x^2)P'(x)=n(\lambda-x)P(x)$. Résoudre cette équation sur $]-1,1[$, puis déterminer les valeurs propres et les espaces propres de $T$. En déduire que $A$ est diagonalisable.

4. Que peut-on conclure quant aux suites $(Y_{2p})$ et $(Y_{2p+1})$ ?

Déterminer toutes les matrices $B\in\mathcal M_3(\mathbb C)$ telles que

Peut-on généraliser la méthode en dimension $n$ ?

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telle que $A^{n-1}\ne0$ et $A^n=0$. On note $C(A)=\{M\in\mathcal M_n(\mathbb R):AM=MA\}$.

1. Montrer qu’il existe $x_0\in\mathbb R^n$ tel que $(x_0,Ax_0,\ldots,A^{n-1}x_0)$ soit une base de $\mathbb R^n$.

2. Montrer que $(I_n,A,\ldots,A^{n-1})$ est une base de $C(A)$.

Soit $A\in\mathcal M_2(\mathbb R)$ ayant pour valeurs propres $re^{i\theta}$ et $re^{-i\theta}$, avec $r>0$ et $\sin\theta\ne0$.

Montrer que $A$ est semblable sur $\mathbb R$ à

Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ diagonalisables sur $\mathbb R$.

1. Si $A=\begin{pmatrix}A_1&A_2\\0&A_3\end{pmatrix}$, montrer que $A_3$ est diagonalisable.

2. Si un endomorphisme est diagonalisable, montrer que sa restriction à un sous-espace stable est diagonalisable.

3. On suppose désormais que $AB=BA$. Montrer que $A$ et $B$ sont simultanément diagonalisables.

4. Montrer qu’il existe $C\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ et des réels $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}$ tels que