Probabilités

Soit $(X_n)_{n\ge1}$ une suite de variables aléatoires réelles discrètes indépendantes, de même loi, bornées et non presque sûrement constantes. On pose $Y_0=1$ et $Y_n=X_nY_{n-1}$. On suppose que les $Y_n$, pour $n\ge1$, ont tous la même loi.

1. Si $\mathbb P(X_1=x)>0$, montrer que $\mathbb P(X_1=x^2)>0$, puis que $|x|\le1$ et enfin que $x\in\{-1,0,1\}$.

2. Déterminer les lois possibles de $X_1$.

3. Les variables $Y_n$ sont-elles indépendantes ?

Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p\in[0,1]$. On pose $U=(X_1,\ldots,X_n)^T$ et $M=UU^T$.

1. Déterminer les lois du rang et de la trace de $M$.

2. Calculer la probabilité que $M$ soit une matrice de projecteur.

Soient $X$ et $Y$ indépendantes, de lois respectives $\mathcal B(n,1/4)$ et $\mathcal B(n,3/4)$.

1. Pour $A=\begin{pmatrix}X&0\\2&Y\end{pmatrix}$, déterminer les conditions d’inversibilité et de diagonalisabilité, puis les probabilités correspondantes.

2. Reprendre ces questions pour $B=\begin{pmatrix}X&0\\X&Y\end{pmatrix}$.

Soient $(X_k)_{k\ge1}$ des variables indépendantes de loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$ sur $\mathbb N^*$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.

1. Montrer que $\mathbb P(S_n>n/(2p))\to1$ et $\mathbb P(S_n\le n/(2p))\to0$.

2. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$,

Soit $N\ge2$. Les variables $(U_k)_{k\ge1}$ sont indépendantes et uniformes sur $\{1,\ldots,N\}$. On pose

Montrer que, pour tout $t\in\mathbb R$, $\mathbb E(e^{tV_n})\to e^{t^2/2}$.

Soient $(p_n)_{n\ge0}$ des réels de $]0,1[$ tels que $\sum p_n$ converge, et $X_n$ des variables de Bernoulli de paramètres $p_n$. On pose

1. Exprimer $\{S\ge m\}$ en fonction des événements $\{S_n\ge m\}$ et justifier que $S$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb N\cup\{+\infty\}$.

2. Montrer que $S$ est finie presque sûrement.

3. Montrer que $S$ admet une espérance et la calculer.

On dit qu’une variable aléatoire $X$ est presque sûrement bornée s’il existe $C\ge0$ tel que $\mathbb P(|X|\le C)=1$.

1. Existe-t-il une variable non presque sûrement bornée qui admette des moments de tout ordre ?

2. Soient $Y,Z$ deux variables admettant des moments de tout ordre telles que $\mathbb E(|Y|^k)=\mathbb E(|Z|^k)$ pour tout $k\in\mathbb N$. On suppose $Y$ presque sûrement bornée. Montrer que $Z$ l’est aussi.

On considère $n$ urnes : l’urne $k$ contient une boule noire et $k$ boules jaunes. On tire indépendamment une boule dans chaque urne. On note $X_n$ le nombre de boules noires obtenues et $A_k$ l’événement « la boule tirée dans l’urne $k$ est noire ».

1. Écrire $X_n$ comme somme d’indicatrices et calculer son espérance.

2. Calculer sa variance et montrer que $\operatorname{Var}(X_n)\le\mathbb E(X_n)$.

3. En déduire une majoration de $\mathbb P(|X_n-\mathbb E(X_n)|\ge\varepsilon\mathbb E(X_n))$.

4. En admettant d’abord que $\mathbb E(X_n)\to+\infty$, montrer que $X_n/\mathbb E(X_n)$ converge en probabilité vers $1$.

5. Montrer que $\ln(n+2)-1\le\mathbb E(X_n)\le\ln(n+1)$ et justifier la limite admise.

On lance une pièce, indépendamment à chaque lancer, avec probabilité $p\in]0,1[$ d’obtenir pile. Soit $X$ le rang du premier pile. Conditionnellement à $X=k$, on choisit $Z$ uniformément dans $\{1,\ldots,k\}$.

1. Déterminer la loi de $X$.

2. On pose $Y=1/(X(X+1))$. Justifier l’existence de son espérance, la calculer et en donner un équivalent lorsque $p\to0^+$.

3. Déterminer la loi de $Z$.

4. Justifier l’existence de $\mathbb E(Z)$ et la calculer.

Soit $(X_n)_{n\ge1}$ une suite de variables indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $2/3$. Pour $k\ge1$, on pose $A_k=\{X_{2k-1}X_{2k}=0\}$ et $B_p=\bigcap_{k=1}^p A_k$.

On note $T=\inf\{k\ge2:X_{k-1}=X_k=1\}$, avec $\inf\varnothing=+\infty$.

1. Interpréter l’événement $\bigcap_{k\ge1}A_k$.

2. Montrer que $\mathbb P(\bigcup_{k\ge1}\overline{A_k})=1$ et en déduire que $T$ est presque sûrement fini.

3. Trouver une relation de récurrence vérifiée par $\mathbb P(T=n)$, puis déterminer la loi de $T$.

Un jeu de $N\ge4$ cartes contient exactement quatre as. Les cartes sont tirées uniformément, sans remise. On note $X$ le rang d’apparition du premier as.

Déterminer la loi et l’espérance de $X$.

1. Soient $X$ et $Y$ indépendantes, de même loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$ sur $\mathbb N^*$. On pose $S=X+Y$. Déterminer la loi de $S$, puis la loi de $X$ conditionnellement à $S=n$.

2. Réciproquement, soient $X,Y$ indépendantes à valeurs dans $\mathbb N^*$, telles que $\mathbb P(X+Y=n)>0$ pour tout $n\ge2$. On suppose que, conditionnellement à $X+Y=n$, la variable $X$ est uniforme sur $\{1,\ldots,n-1\}$. Montrer que $X$ et $Y$ suivent des lois géométriques de même paramètre.

Alice lance $n$ fois une pièce donnant pile avec probabilité $p\in]0,1[$ et note $X$ le nombre de piles. Bob lance ensuite $X$ fois un dé équilibré à six faces et note $Y$ la somme des résultats, avec $Y=0$ si $X=0$. Tous les lancers sont indépendants.

Déterminer la fonction génératrice de $Y$, puis son espérance et sa variance.

Soit $(X_n)_{n\ge1}$ une suite de variables indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p\in]0,1[$. On pose $P_n=\prod_{k=1}^nX_k$, $L_n=\sum_{k=1}^nP_k$ et $L=\sum_{k=1}^{+\infty}P_k$.

1. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de $P_n$.

2. Calculer $\mathbb E(L_n)$.

3. Calculer $\operatorname{Cov}(P_i,P_j)$ puis $\operatorname{Var}(L_n)$.

4. Montrer que $L$ est presque sûrement finie, déterminer sa loi et calculer $\lim_{n\to+\infty}\mathbb E(L_n)$.

5. Montrer que $\mathbb E(|L-L_n|)\to0$.

Un réel $m$ est une médiane d’une variable aléatoire réelle $X$ lorsque $\mathbb P(X>m)\le1/2$ et $\mathbb P(X<m)\le1/2$.

1. Déterminer les médianes d’une variable géométrique de paramètre $p\in]0,1[$ sur $\mathbb N^*$.

2. On pose $F_X(t)=\mathbb P(X<t)$. Montrer que $F_X$ est croissante, continue à gauche, et déterminer ses limites en $-\infty$ et $+\infty$.

3. Montrer que l’ensemble des médianes de $X$ est non vide, fermé, borné et convexe.

1. Soit $X$ une variable aléatoire réelle discrète. Montrer que $\mathbb P(X\ge x)\to0$ lorsque $x\to+\infty$.

2. Si $X\ge0$ et $\mathbb E(X)<+\infty$, montrer que $\mathbb P(X\ge x)=o(1/x)$.

Soit $(X_n)_{n\ge1}$ une suite de variables indépendantes de même loi, à valeurs dans $\mathbb N$, avec $\mathbb E(X_1)<+\infty$. On pose $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$.

1. Pour $N\in\mathbb N$, montrer que $X_1\mathbf1_{\{X_1\ge N\}}$ admet une espérance finie et que $\mathbb E(X_1\mathbf1_{\{X_1\ge N+1\}})\to0$ lorsque $N\to+\infty$.

2. Montrer que, pour tous $N\in\mathbb N$ et $n\ge1$,

3. Déterminer la limite de $\mathbb E(M_n/n)$ lorsque $n\to+\infty$.