Intégration

Pour $x\in]0,1[$, justifier l’existence de

et montrer que

Soit $h:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ continue, strictement croissante et convexe, telle que $h(0)=0$ et $h(x)/x\to+\infty$.

1. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, il existe un unique $u_n\ge0$ tel que $h(u_n)=n\pi$.

2. Déterminer la limite de $(u_n)$.

3. Montrer que, si $0<x<y$, alors $h(x)/x\le(h(y)-h(x))/(y-x)$.

4. Déterminer la limite de $u_{n+1}-u_n$.

5. Étudier la convergence de $\int_0^{\infty}\sin(h(x))\,dx$.

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et intégrable.

1. A-t-on nécessairement $f(x)\to0$ lorsque $x\to+\infty$ ?

2. On pose $g(x)=f(x-1/x)$ pour $x\ne0$. Montrer que $g$ est intégrable sur $\mathbb R_+^*$ et $\mathbb R_-^*$, et que

Soit $f\in\mathcal C^1(\mathbb R_+,\mathbb R)$ telle que $f(0)=0$ et $\int_0^{\infty}f'(t)^2\,dt<+\infty$.

Montrer successivement la convergence des intégrales

Pour $n\in\mathbb N$, on pose

1. Montrer que $(u_n)$ converge.

2. Montrer que $2u_{n+1}=u_n+\frac1{n+1}$.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$ et donner un équivalent de $u_n$ lorsque $n\to+\infty$.

On pose

1. Déterminer le domaine de définition de $f$.

2. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur son domaine.

3. Déterminer ses limites aux bords du domaine, puis des équivalents en ces points.

Soit $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ continue, telle que $\int_0^{\infty}f(t)^2\,dt$ converge. Pour $x>0$, on pose $g(x)=\frac1x\int_0^xf(t)\,dt$.

1. Déterminer $\lim_{x\to0^+}g(x)$.

2. Déterminer $\lim_{x\to+\infty}\sqrt x\,g(x)$.

3. Montrer que $\int_0^{\infty}g(x)^2\,dx$ converge.

Soient $a<b$, $c<d$ et $f:[a,b]\times[c,d]\to\mathbb R$ continue.

1. Justifier l’existence et la régularité $\mathcal C^1$ sur $[c,d]$ de

2. Justifier l’existence des deux membres et montrer que

Justifier la convergence et calculer

Montrer qu’il existe des constantes $A,B\in\mathbb R$ telles que, pour toute fonction réelle $f$ de classe $\mathcal C^1$ et $2\pi$-périodique,

Le résultat reste-t-il vrai pour les fonctions à valeurs complexes ?

Pour $x>0$, on pose

Justifier que $f$ est bien définie et exprimer $f(x)$ comme la somme d’une série.

On pose

Déterminer le domaine de définition de $f$. Étudier sa continuité, puis son caractère $\mathcal C^1$ et $\mathcal C^2$ sur ce domaine.

Pour $\alpha>0$, on pose

Étudier la convergence de cette intégrale. Déterminer les limites de $I(\alpha)$ lorsque $\alpha\to0^+$ et lorsque $\alpha\to+\infty$, puis un équivalent en $+\infty$.

Soit $(z_n)$ une suite complexe convergeant vers $z$ avec $\operatorname{Re}(z)<1$. Déterminer

Déterminer ensuite le développement en série entière de $f$ au voisinage de $0$.

On pose

1. Montrer que $f$ est définie et de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R$.

2. Pour $x\notin\{-1,0,1\}$, décomposer en éléments simples $1/((1+t^2x^2)(1+t^2))$. Traiter séparément les valeurs exclues.

3. Montrer que, pour $x>0$, $f'(x)=\pi/(2(x+1))$.

4. Déterminer $f$ sur $\mathbb R$.

Pour $x>0$, on pose

1. Justifier que $f$ et $g$ sont bien définies.

2. Montrer que $f(x)=\cos(x)/x^2-2g(x)$ et que $g(x)=o(1/x^2)$ lorsque $x\to+\infty$.

3. Pour $n\ge1$, montrer que

4. Montrer qu’il existe un unique $x_n\in]n\pi,(n+1)\pi[$ tel que $f(x_n)=0$.

5. Déterminer un développement asymptotique de $x_n$.

On pose

1. Déterminer le domaine de définition de $f$.

2. Montrer que $f$ est continue sur ce domaine.

3. Montrer que la droite $x=1/2$ est un axe de symétrie de sa courbe.

4. Montrer que $f$ est minorée par un réel à préciser.

5. Déterminer un équivalent de $f$ en $0^+$.

On pose $f(t)=\sqrt{1-t^2}$ sur $[0,1]$ et $g(t)=1/\sqrt{1-t^2}$ sur $[0,1[$, puis

1. Montrer que $(S_n)$ converge et déterminer sa limite $\ell$.

2. Montrer que $(T_n)$ converge et déterminer sa limite.

3. En posant $\Delta_n=S_n-\ell$, montrer qu’il existe $\alpha>0$ tel que $n^\alpha\Delta_n\to0$.

Pour $t>0$, on pose $S(t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})$.

1. Montrer que $S$ est intégrable sur $[1,+\infty[$. Est-elle intégrable sur $]0,1]$ ?

2. Calculer