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Mines-PontsFilière PCAlgèbre

Espaces euclidiens

Cette sélection réunit des exercices d’oraux du concours Mines-Ponts en filière PC. Cherchez d’abord à partir de l’énoncé, puis consultez les indications et les corrigés disponibles lorsque vous en avez besoin.

35 exercices disponibles

Exercices 2026

Exercice 1—Perturbation d’une base orthonormée et critère pour rester une base

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthonormée de $\mathbb R^n$ et $f_1,\ldots,f_n\in\mathbb R^n$ tels que

\forall k\in\{1,\ldots,n\},\quad\|e_k-f_k\|<\frac1{\sqrt n}.

Montrer que $(f_1,\ldots,f_n)$ est une base de $\mathbb R^n$ .

Indication›

Corrigé›

Exercice 2—Produit scalaire de Frobenius, matrices AᵀA et AAᵀ

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$ , on considère le produit scalaire $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^TB)$ .

1. Comparer $\operatorname{tr}(A^2)$ et $\operatorname{tr}(A^TA)$ , et étudier le cas d’égalité.

2. Montrer que $A^TA$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives ou nulles.

3. Comparer les noyaux, puis les rangs, de $A$ et de $A^TA$ .

4. Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ ont les mêmes valeurs propres, avec les mêmes dimensions d’espaces propres.

Indication›

Corrigé›

Exercice 3—Égalité AᵀA = BᵀB et existence d’une matrice orthogonale U telle que A = UB

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $A,B\in\mathcal M_{p,q}(\mathbb R)$ tels que $A^TA=B^TB$ . On note $f,g:\mathbb R^q\to\mathbb R^p$ les applications associées.

1. Montrer que $\ker A=\ker B$ .

2. Montrer que $\langle f(x),f(y)\rangle=\langle g(x),g(y)\rangle$ pour tous $x,y$ .

3. Montrer qu’il existe $U\in O_p(\mathbb R)$ tel que $A=UB$ .

Indication›

Corrigé›

Exercice 4—Inégalité de Jensen puis comparaison trace-déterminant d’une matrice symétrique positive

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

1. Soient $f:I\to\mathbb R$ convexe sur un intervalle $I$ et $x_1,\ldots,x_n\in I$ . Montrer que

f\!\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)\le\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}n.

2. En déduire que, pour toute matrice symétrique positive $S\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ ,

\det S\le\left(\frac{\operatorname{tr}S}{n}\right)^n.

3. Étudier le cas d’égalité.

Indication›

Corrigé›

Exercice 5—Deux produits scalaires ayant le même groupe orthogonal sont proportionnels

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient deux produits scalaires sur un espace vectoriel réel de dimension finie. Montrer que, s’ils définissent le même groupe orthogonal, ils sont proportionnels.

Indication›

Corrigé›

Exercice 6—Matrice symétrique définie positive

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $A$ une matrice symétrique définie positive, de valeurs propres $0<\lambda_1\le\cdots\le\lambda_n$ .

Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R^n$ ,

\|x\|^4\le\langle x,Ax\rangle\langle x,A^{-1}x\rangle\le\frac{(\lambda_1+\lambda_n)^2}{4\lambda_1\lambda_n}\|x\|^4.

Indication›

Corrigé›

Exercice 7—Endomorphismes préservant l’orthogonalité

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $E$ un espace euclidien. Déterminer les endomorphismes $f$ de $E$ tels que, pour tout sous-espace vectoriel $V$ de $E$ ,

f(V^\perp)\subset f(V)^\perp.

Indication›

Corrigé›

Exercice 8—Représentation d’une forme linéaire par un produit scalaire intégral sur les polynômes ; continuité…

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

1. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$ , il existe un unique $P_n\in\mathbb R_n[X]$ tel que

\forall Q\in\mathbb R_n[X],\quad\int_0^{+\infty}\frac{Q(t)}{1+e^t}\,dt=\int_0^1P_n(t)Q(t)\sin(t^2)\,dt.

2. On munit $\mathbb R[X]$ de la norme $\|Q\|=\max_{0\le k\le d}|a_k|$ pour $Q=\sum_{k=0}^d a_kX^k$ . Montrer que la forme linéaire $\varphi:Q\mapsto\int_0^{+\infty}Q(t)/(1+e^t)\,dt$ est discontinue.

3. Existe-t-il une norme sur $\mathbb R[X]$ pour laquelle $\varphi$ soit continue ?

Indication›

Corrigé›

Exercice 9—Matrices orthogonales

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $A=(a_{ij})\in O_n(\mathbb R)$ . Montrer que

\left|\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\right|\le n,\qquad\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}|\le n\sqrt n.

Étudier les cas d’égalité.

Indication›

Corrigé›

Exercices 2023

Exercice 1—Combinaison convexe de deux vecteurs unitaires

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $x$ et $y$ deux vecteurs unitaires distincts d’un espace euclidien, et soit $t\in]0,1[$ . Montrer que $(1-t)x+ty$ n’est pas unitaire.

Indication›

Distinguer le cas où $x$ et $y$ sont colinéaires, puis développer le carré de la norme.

Corrigé›

Si $x$ et $y$ sont colinéaires, comme ils sont unitaires et distincts, on a nécessairement $y=-x$ . Ainsi

(1-t)x+ty=(1-2t)x

et donc

\|(1-t)x+ty\|=|1-2t|<1

puisque $t\in]0,1[$ .

Supposons maintenant que $x$ et $y$ ne soient pas colinéaires. L’inégalité de Cauchy-Schwarz est alors stricte :

\langle x,y\rangle<\|x\|\,\|y\|=1.

Comme $t(1-t)>0$ , on obtient

\begin{aligned} \|(1-t)x+ty\|^2 &=(1-t)^2\|x\|^2+t^2\|y\|^2+2t(1-t)\langle x,y\rangle\\ &=(1-t)^2+t^2+2t(1-t)\langle x,y\rangle\\ &<(1-t)^2+t^2+2t(1-t)=1. \end{aligned}

\boxed{\|(1-t)x+ty\|<1}

Exercice 2—Perturbation de rang un et isométrie

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace préhilbertien réel, $\lambda\in\mathbb R$ et $v\in E\setminus\{0\}$ . On définit

f:E\longrightarrow E,\qquad f(x)=x+\lambda\langle v,x\rangle v.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda$ et $v$ pour que $f$ soit une isométrie.

Indication›

Calculer $\|f(x)\|^2-\|x\|^2$ . En dimension finie, on peut aussi choisir une base orthonormée commençant par $v/\|v\|$ .

Corrigé›

Première méthode

Pour tout $x\in E$ ,

\begin{aligned} \|f(x)\|^2 &=\|x+\lambda\langle v,x\rangle v\|^2\\ &=\|x\|^2+2\lambda\langle v,x\rangle^2 +\lambda^2\|v\|^2\langle v,x\rangle^2. \end{aligned}

Ainsi

\|f(x)\|^2-\|x\|^2 =\lambda\bigl(2+\lambda\|v\|^2\bigr)\langle v,x\rangle^2.

Comme $v\neq0$ , la quantité $\langle v,x\rangle$ n’est pas nulle pour tout $x$ . Par conséquent, $f$ est une isométrie si et seulement si

\lambda\bigl(2+\lambda\|v\|^2\bigr)=0.

On obtient donc

\boxed{\lambda=0\qquad\text{ou}\qquad \lambda=-\frac{2}{\|v\|^2}.}

Dans le premier cas, $f=\operatorname{id}_E$ . Dans le second, $f$ est la réflexion orthogonale par rapport à l’hyperplan $v^\perp$ .

Deuxième méthode en dimension finie

Posons $e_1=v/\|v\|$ et complétons $e_1$ en une base orthonormée $(e_1,\ldots,e_n)$ . Dans cette base,

\operatorname{Mat}(f)= \operatorname{diag}\bigl(1+\lambda\|v\|^2,1,\ldots,1\bigr).

Cette matrice est orthogonale si et seulement si

\bigl(1+\lambda\|v\|^2\bigr)^2=1,

ce qui redonne exactement les deux valeurs précédentes de

\lambda

Exercice 3—Endomorphismes conservant l’orthogonalité

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $E$ un espace euclidien, $(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthonormée de $E$ et $f\in\mathcal L(E)$ non nul, tel que

\forall(x,y)\in E^2,\qquad \langle x,y\rangle=0\Longrightarrow\langle f(x),f(y)\rangle=0.

Soient $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ . Montrer que $e_i+e_j$ et $e_i-e_j$ sont orthogonaux.
Montrer que $\|f(e_i)\|=\|f(e_j)\|$ .
Montrer qu’il existe $\lambda>0$ tel que $\|f(u)\|=\lambda\|u\|$ pour tout $u\in E$ . Exprimer alors $f$ comme la composée de deux endomorphismes à préciser.

Indication›

Appliquer l’hypothèse aux vecteurs $e_i+e_j$ et $e_i-e_j$ , puis utiliser le théorème de Pythagore dans la famille $(f(e_i))$ .

Corrigé›

1. Deux vecteurs orthogonaux

\langle e_i+e_j,e_i-e_j\rangle =\|e_i\|^2-\|e_j\|^2=1-1=0.

2. Égalité des normes

L’hypothèse donne

\langle f(e_i+e_j),f(e_i-e_j)\rangle=0.

Par linéarité de $f$ ,

\begin{aligned} 0 &=\langle f(e_i)+f(e_j),f(e_i)-f(e_j)\rangle\\ &=\|f(e_i)\|^2-\|f(e_j)\|^2. \end{aligned}

Donc

\|f(e_i)\|=\|f(e_j)\|.

3. Caractérisation de f

La famille $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est orthogonale. Posons

\lambda=\|f(e_1)\|=\cdots=\|f(e_n)\|.

Comme $f$ n’est pas nul, on a $\lambda>0$ . Pour $u=\sum_{i=1}^n u_ie_i$ , le théorème de Pythagore donne

\begin{aligned} \|f(u)\|^2 &=\left\|\sum_{i=1}^n u_if(e_i)\right\|^2\\ &=\sum_{i=1}^n u_i^2\|f(e_i)\|^2\\ &=\lambda^2\sum_{i=1}^n u_i^2 =\lambda^2\|u\|^2. \end{aligned}

Ainsi

\|f(u)\|=\lambda\|u\|.

L’endomorphisme $q=\lambda^{-1}f$ envoie la base orthonormée $(e_i)$ sur une base orthonormée. Donc $q\in O(E)$ et

\boxed{f=(\lambda\operatorname{id}_E)\circ q, \qquad q\in O(E).}

Exercice 4—Norme de Frobenius et série de Neumann

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé réservé

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Espaces euclidiens

Exercices 2026

Exercice 1—Perturbation d’une base orthonormée et critère pour rester une base

Exercice 2—Produit scalaire de Frobenius, matrices AᵀA et AAᵀ

Exercice 3—Égalité AᵀA = BᵀB et existence d’une matrice orthogonale U telle que A = UB

Exercice 4—Inégalité de Jensen puis comparaison trace-déterminant d’une matrice symétrique positive

Exercice 5—Deux produits scalaires ayant le même groupe orthogonal sont proportionnels

Exercice 6—Matrice symétrique définie positive

Exercice 7—Endomorphismes préservant l’orthogonalité

Exercice 8—Représentation d’une forme linéaire par un produit scalaire intégral sur les polynômes ; continuité…

Exercice 9—Matrices orthogonales

Exercices 2023

Exercice 1—Combinaison convexe de deux vecteurs unitaires

Exercice 2—Perturbation de rang un et isométrie

Première méthode

Deuxième méthode en dimension finie

Exercice 3—Endomorphismes conservant l’orthogonalité

1. Deux vecteurs orthogonaux

2. Égalité des normes

3. Caractérisation de f

Exercice 4—Norme de Frobenius et série de Neumann

Exercice 5—Polynômes orthogonaux et localisation des racines

Exercice 6—Représentation d’une forme linéaire

Exercice 7—Polynômes de Tchebychev de seconde espèce

Exercice 8—Produit scalaire discret et base de Lagrange

Exercice 9—Projection orthogonale dans R^4

Exercice 10—Valeurs propres d’une matrice dépendant d’un paramètre

Exercice 11—Sommes des coefficients d’une matrice orthogonale

Exercice 12—Endomorphisme autoadjoint et polynômes de Legendre

Exercice 13—Adjoint, noyaux et sous-espaces stables

Exercice 14—Traces de puissances et matrice orthogonale

Exercice 15—Inégalité pour une matrice définie positive

Exercice 16—Matrice de Hilbert et plus petite valeur propre

Exercice 17—Inégalité trace-rang pour une matrice symétrique

Exercice 18—Trace et norme de Frobenius

Exercice 19—Matrice symétrique semblable à son inverse

Exercice 20—Stabilité d’une base orthonormée par perturbation

Exercice 21—Matrices orthogonales à trois paramètres

Exercice 22—Signe d’une valeur propre d’une matrice symétrique

Exercice 23—Valeurs propres d’une matrice antisymétrique

Exercice 24—Caractérisation des matrices antisymétriques

Exercice 25—Matrices de Gram et intersections d’ensembles

Exercice 26—Plus grande valeur propre d’une matrice symétrique