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Équations différentielles

Cette sélection réunit des exercices d’oraux du concours Mines-Ponts en filière PC. Cherchez d’abord à partir de l’énoncé, puis consultez les indications et les corrigés disponibles lorsque vous en avez besoin.

8 exercices disponibles

Exercices 2026

Exercice 1—Existence et unicité d’une solution bornée de y′ − y = f avec f intégrable

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et intégrable. Montrer que l’équation différentielle $y'-y=f$ possède une unique solution bornée sur $\mathbb R$ .

Indication›

Corrigé›

Exercice 2—Équation 4x f″ + 2f′ + f = 0

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

On considère l’équation différentielle

4xy''(x)+2y'(x)+y(x)=0.

1. Déterminer les solutions développables en série entière au voisinage de $0$ .

2. Déterminer toutes les solutions sur $]0,+\infty[$ et sur $]-\infty,0[$ .

Indication›

Corrigé›

Exercice 3—Résolution de x(x+1)y″ + (x+2)y′ − y = 2

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Résoudre l’équation différentielle

x(x+1)y''+(x+2)y'-y=2.

Indication›

Corrigé›

Exercices 2023

Exercice 1—Solutions développables en série entière

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Rechercher les solutions de $(E):\,y''+xy'+2y=0$ développables en série entière sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ à préciser.

Indication›

Poser $y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ et identifier les coefficients. Les suites de coefficients pairs et impairs se traitent séparément.

Corrigé›

Écrivons

y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n

Alors

y''(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n

xy'(x)+2y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+2)a_nx^n

L’équation différentielle est donc équivalente à

(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+2)a_n=0

soit, pour tout $n\in\mathbb{N}$ ,

\boxed{a_{n+2}=-\frac{a_n}{n+1}}

Coefficients pairs

Pour tout $p\in\mathbb{N}$ ,

a_{2p} =a_0\frac{(-1)^p}{1\cdot3\cdots(2p-1)} =a_0\frac{(-1)^p2^pp!}{(2p)!}

Coefficients impairs

a_{2p+1} =a_1\frac{(-1)^p}{2\cdot4\cdots 2p} =a_1\frac{(-1)^p}{2^pp!}

Dans les deux séries, le quotient des termes successifs tend vers zéro pour tout réel $x$ . Le rayon de convergence est donc infini.

Les solutions recherchées sont ainsi

\boxed{ y(x)=a_0\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p2^pp!}{(2p)!}x^{2p} +a_1\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{2^pp!}x^{2p+1}}

La seconde série se reconnaît :

\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{2^pp!}x^{2p+1} =xe^{-x^2/2}

Ces séries convergent sur tout $\mathbb{R}$ . On peut donc prendre $I=\mathbb{R}$ .

Exercice 2—Une inégalité intégrale et l’équation d’Airy

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $f\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}_+)$ . On suppose qu’il existe $c\geq0$ tel que, pour tout $x\in\mathbb{R}_+$ ,
$xf(x)\leq c+\int_0^x f(t)\,dt$
Montrer que $f$ est bornée.
Soit $y\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})$ solution de $y''+xy=0$ . Montrer que $y$ est bornée.

Indication›

Pour la première question, poser $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ et étudier la monotonie de $(F(x)+c)/x$ .

Pour la seconde, multiplier l’équation par $2y'$ , intégrer, puis appliquer la première question à $f=y^2$ .

Corrigé›

1. Une fonction positive satisfaisant l’inégalité

Posons

F(x)=\int_0^x f(t)\,dt

L’hypothèse s’écrit $xF'(x)-F(x)\leq c$ . Pour $x>0$ ,

\frac{d}{dx}\left(\frac{F(x)+c}{x}\right) =\frac{xF'(x)-F(x)-c}{x^2}\leq0

La fonction $x\mapsto(F(x)+c)/x$ est donc décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$ . Par ailleurs, l’hypothèse donne

0\leq f(x)\leq\frac{F(x)+c}{x}

Pour tout $x\geq1$ ,

0\leq f(x)\leq\frac{F(x)+c}{x}\leq F(1)+c

Ainsi, $f$ est bornée sur $[1,+\infty[$ . Elle est également bornée sur le segment $[0,1]$ par continuité. Elle est donc bornée sur $\mathbb{R}_+$ .

2. Application à l’équation différentielle

Multiplions $y''+xy=0$ par $2y'$ et intégrons entre zéro et $x$ :

y'(x)^2-y'(0)^2 +\int_0^x2t\,y(t)y'(t)\,dt=0

Une intégration par parties donne

y'(x)^2-y'(0)^2 +xy(x)^2-\int_0^x y(t)^2\,dt=0

Par conséquent,

xy(x)^2 =y'(0)^2+\int_0^x y(t)^2\,dt-y'(x)^2 \leq y'(0)^2+\int_0^x y(t)^2\,dt

La première question s’applique à la fonction continue positive $f=y^2$ , avec $c=y'(0)^2$ . Ainsi $y^2$ , puis $y$ , est bornée sur $\mathbb{R}_+$ .

Exercice 3—Solution bornée et spectre d’un opérateur

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

On note $E$ l’espace vectoriel des fonctions bornées et de classe $\mathcal{C}^1$ de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$ . Soit $a>0$ . Pour $f\in E$ , on considère l’équation différentielle

(E_f):\quad y'-ay=f(x)

Montrer que, pour toute $f\in E$ , il existe une unique solution de $(E_f)$ appartenant à $E$ . On la note $\varphi(f)$ .
Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$ et déterminer son noyau.
Calculer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $\varphi$ .

Indication›

Résoudre l’équation linéaire et choisir la constante de façon à éliminer le terme exponentiel non borné.

Pour les valeurs propres, écrire $\varphi(f)=\lambda f$ puis utiliser l’équation différentielle satisfaite par $\lambda f$ .

Corrigé›

1. Existence et unicité de la solution bornée

Les solutions de $y'-ay=f$ sont

y(x)=e^{ax}\left(C+\int_0^x f(t)e^{-at}\,dt\right)

Comme $f$ est bornée, l’intégrale $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-at}\,dt$ converge absolument. Pour que $y$ soit bornée, il faut nécessairement choisir

C=-\int_0^{+\infty}f(t)e^{-at}\,dt

On obtient donc l’unique solution bornée

\boxed{ \varphi(f)(x)=-e^{ax}\int_x^{+\infty}f(t)e^{-at}\,dt}

Elle vérifie

|\varphi(f)(x)| \leq\|f\|_\infty e^{ax}\int_x^{+\infty}e^{-at}\,dt =\frac{\|f\|_\infty}{a}

Elle appartient bien à $E$ .

2. Linéarité et noyau

La formule intégrale montre immédiatement que $\varphi$ est linéaire. Si $\varphi(f)=0$ , alors l’équation $(\varphi(f))'-a\varphi(f)=f$ donne $f=0$ . Ainsi,

\boxed{\ker\varphi=\{0\}}

3. Valeurs propres

Supposons $\varphi(f)=\lambda f$ avec $f\neq0$ . Comme le noyau est nul, $\lambda\neq0$ . La fonction $y=\lambda f$ satisfait $y'-ay=f$ , donc

\lambda f'-a\lambda f=f

et ainsi

f'(x)=\left(a+\frac1\lambda\right)f(x)

Les fonctions propres éventuelles sont donc les multiples de

f_\lambda(x)=\exp\!\left(\left(a+\frac1\lambda\right)x\right)

Cette fonction est bornée sur $\mathbb{R}_+$ si et seulement si

a+\frac1\lambda\leq0

ce qui équivaut à

-\frac1a\leq\lambda<0

Finalement,

\boxed{\operatorname{Sp}(\varphi)=\left[-\frac1a,0\right[}

et, pour tout $\lambda\in[-1/a,0[$ ,

\boxed{ E_\lambda(\varphi) =\operatorname{Vect}\!\left( x\longmapsto e^{(a+1/\lambda)x} \right)}

Exercice 4—Estimations L¹, L² et L∞ d’une solution

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé réservé

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Exercice 5—Dimension d’un espace de solutions analytiques

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Déterminer, en fonction du réel $\lambda$ , la dimension de l’espace des solutions sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle $xy''+\lambda y'+xy=0$ qui sont sommes de séries entières.

Indication›

Poser $y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ . La relation de récurrence peut devenir singulière lorsque $n+\lambda-1=0$ . Distinguer selon la parité de cet entier de résonance.

Corrigé›

Posons

y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n

L’identification des coefficients donne

\lambda a_1=0

et, pour tout $n\geq2$ ,

\boxed{n(n+\lambda-1)a_n+a_{n-2}=0}

1. Cas λ = 0

Les deux coefficients initiaux $a_0$ et $a_1$ sont libres, et la récurrence devient

a_n=-\frac{a_{n-2}}{n(n-1)}

On retrouve les séries du cosinus et du sinus :

S_0=\operatorname{Vect}(\cos,\sin), \qquad\dim S_0=2

2. Cas λ ≠ 0

On a alors $a_1=0$ . Si $\lambda\notin-\mathbb{N}^*$ , aucun coefficient de la récurrence ne s’annule. Le coefficient $a_0$ est libre, tous les coefficients impairs sont nuls et l’espace des solutions analytiques est de dimension un.

Supposons maintenant $\lambda=-q$ avec $q\in\mathbb{N}^*$ . Le coefficient de $a_n$ s’annule au rang

n=q+1

Résonance à un rang impair

Lorsque $q=2m$ , c’est-à-dire $\lambda=-2m$ , le rang de résonance $2m+1$ est impair. La contrainte porte sur un coefficient impair déjà nul, tandis que $a_{2m+1}$ devient libre. On obtient donc deux familles indépendantes de solutions.

\dim S_\lambda=2 \qquad\text{si }\lambda=-2m,\ m\in\mathbb{N}

Résonance à un rang pair

Lorsque $q=2m-1$ , le rang de résonance $2m$ est pair. La relation au rang $2m$ impose $a_{2m-2}=0$ , donc successivement $a_0=0$ . En revanche, $a_{2m}$ devient libre. Il ne reste qu’une famille de solutions analytiques.

Dans tous les cas, les coefficients obtenus après le rang initial sont divisés par une quantité de l’ordre de $n^2$ . Les séries construites ont donc un rayon de convergence infini.

\boxed{ \dim S_\lambda= \begin{cases} 2,&\lambda=-2m\text{ avec }m\in\mathbb{N},\\[3pt] 1,&\text{sinon.} \end{cases}}

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