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Mines-PontsFilière PCAnalyse

Calcul différentiel

Cette sélection réunit des exercices d’oraux du concours Mines-Ponts en filière PC. Cherchez d’abord à partir de l’énoncé, puis consultez les indications et les corrigés disponibles lorsque vous en avez besoin.

12 exercices disponibles

Exercices 2026

Exercice 1—Fonction quadratique définie par intégrale

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

On munit Rn\mathbb R^n de sa norme euclidienne et l’on pose

f(x1,…,xn)=∫0∞e−t(1+x1t+⋯+xntn)2 dt.f(x_1,\ldots,x_n)=\int_0^{\infty}e^{-t}(1+x_1t+\cdots+x_nt^n)^2\,dt.

1. Justifier que ff est définie sur Rn\mathbb R^n et de classe C1\mathcal C^1.

2. En posant u=(1,x1,…,xn)Tu=(1,x_1,\ldots,x_n)^T et M=((i+j)!)0≤i,j≤nM=((i+j)!)_{0\le i,j\le n}, montrer que f(x)=uTMuf(x)=u^TMu et que MM est symétrique définie positive.

3. Montrer qu’il existe A>0A>0 tel que f(x)≥A∥x∥2f(x)\ge A\|x\|^2 pour tout xx. En déduire que ff admet un minimum global.

Indication›
Corrigé›

Exercice 2—Résolution de ∂f/∂x − xy ∂f/∂y = 0 par changement de variables

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Déterminer les fonctions f∈C1(R2,R)f\in\mathcal C^1(\mathbb R^2,\mathbb R) telles que

∀(x,y)∈R2,∂f∂x(x,y)−xy∂f∂y(x,y)=0.\forall(x,y)\in\mathbb R^2,\quad\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-xy\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0.
Indication›
Corrigé›

Exercice 3—Continuité en (0,0) d’un quotient faisant intervenir exp((x+y)²), selon deux paramètres

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour α,β∈R\alpha,\beta\in\mathbb R et (x,y)≠(0,0)(x,y)\ne(0,0), on pose

f(x,y)=e(x+y)2−1−(x+y)2(∣x∣+∣y∣)α(x2+y2)β.f(x,y)=\frac{e^{(x+y)^2}-1-(x+y)^2}{(|x|+|y|)^\alpha(x^2+y^2)^\beta}.

Déterminer les couples (α,β)(\alpha,\beta) pour lesquels ff admet un prolongement continu en (0,0)(0,0).

Indication›
Corrigé›

Exercice 4—Minimum global de 1/x + 1/y + xy sur (R₊*)²

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Déterminer le minimum global sur ]0,+∞[2]0,+\infty[^2 de

f(x,y)=1x+1y+xy.f(x,y)=\frac1x+\frac1y+xy.
Indication›
Corrigé›

Exercices 2023

Exercice 1—Images de deux applications symétriques

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

  1. Soitf: R2⟶R2,f(x,y)=(x+y,xy)f:\,\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2, \qquad f(x,y)=(x+y,xy). Déterminer f(R2)f(\mathbb{R}^2).
  2. Soitg:R2⟶R2,g(x,y)=(x+y,x3+y3)g:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2, \qquad g(x,y)=(x+y,x^3+y^3). Déterminer g(R2)g(\mathbb{R}^2).
Indication›

Pour la première application, interpréterxx etyy comme les racines d’un polynôme du second degré.

Pour la seconde, utiliserx3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)puis revenir à la première question.

Corrigé›

1. Image de ff

Soit (u,v)∈R2(u,v)\in\mathbb{R}^2. La relation f(x,y)=(u,v)f(x,y)=(u,v) équivaut à

x+y=u,xy=vx+y=u,\qquad xy=v

Les nombres xx etyy doivent donc être les racines réelles de

X2−uX+vX^2-uX+v

Une telle paire réelle existe si et seulement si

u2−4v≥0u^2-4v\geq0

Ainsi,

f(R2)={(u,v)∈R2 ; u2≥4v}\boxed{f(\mathbb{R}^2) =\left\{(u,v)\in\mathbb{R}^2\,;\,u^2\geq4v\right\}}

2. Image de gg

Posons

u=x+y,v=x3+y3u=x+y,\qquad v=x^3+y^3

On a alors

v=u3−3uxyv=u^3-3uxy

Si u=0u=0, alorsy=−xy=-x et doncv=0v=0. On obtient uniquement le point (0,0)(0,0).

Supposons maintenant u≠0u\neq0. Alors

xy=u3−v3uxy=\frac{u^3-v}{3u}

D’après la première question, il existe des réelsx,yx,y ayant cette somme et ce produit si et seulement si

u2−4u3−v3u≥0u^2-4\frac{u^3-v}{3u}\geq0

Cette condition s’écrit encore

4v−u33u≥0⟺vu≥u24\frac{4v-u^3}{3u}\geq0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac vu\geq\frac{u^2}{4}

Finalement,

g(R2)={(0,0)}∪{(u,v)∈R2 ; u≠0 et vu≥u24}\boxed{ g(\mathbb{R}^2) =\{(0,0)\}\cup \left\{(u,v)\in\mathbb{R}^2\,;\, u\neq0\text{ et }\frac vu\geq\frac{u^2}{4} \right\}}

Exercice 2—Extrema d’une fonction de deux variables

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Étudier les extrema locaux et globaux def:R×R+∗⟶Rf:\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+^*\longrightarrow\mathbb{R}définie par

f(x,y)=y(x2+(ln⁡y)2)f(x,y)=y\left(x^2+(\ln y)^2\right)
Indication›

Commencer par observer le signe deff, puis chercher les points critiques et étudier la matrice hessienne en ces points.

Corrigé›

Comme y>0y>0 et quex2+(ln⁡y)2≥0x^2+(\ln y)^2\geq0, on a f(x,y)≥0f(x,y)\geq0. De plus,

f(0,1)=0f(0,1)=0

Ainsi, 00 est le minimum global, atteint uniquement en (0,1)(0,1). La fonction n’est pas majorée, par exemple lorsque∣x∣→+∞|x|\to+\inftyavec y=1y=1.

Recherche des points critiques

∂f∂x(x,y)=2xy\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy
∂f∂y(x,y)=x2+(ln⁡y)2+2ln⁡y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =x^2+(\ln y)^2+2\ln y

Puisque y>0y>0, la première équation impose x=0x=0. La seconde devient

ln⁡y (ln⁡y+2)=0\ln y\,(\ln y+2)=0

Les deux points critiques sont donc

a=(0,1),b=(0,e−2)a=(0,1),\qquad b=(0,e^{-2})

Étude de la hessienne

Hf(x,y)=(2y2x2x2y(ln⁡y+1))H_f(x,y)= \begin{pmatrix} 2y & 2x\\ 2x & \dfrac{2}{y}(\ln y+1) \end{pmatrix}

Au point aa,

Hf(a)=(2002)H_f(a)= \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}

Cette matrice est définie positive :aa est un minimum local strict, qui est aussi le minimum global déjà trouvé.

Au point bb,

det⁡Hf(b)=(2e−2)(−2e2)=−4<0\det H_f(b) =(2e^{-2})(-2e^2)=-4<0

La hessienne est indéfinie :bb est un point selle et n’est pas un extremum local.

min⁡f=0 en (0,1),f n’a pas de maximum global,(0,e−2) est un point selle.\boxed{ \min f=0\text{ en }(0,1), \qquad f\text{ n’a pas de maximum global}, \qquad (0,e^{-2})\text{ est un point selle}.}

Exercice 3—Croissance radiale imposée par le gradient

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit n≥2n\geq2 etf:Rn⟶Rf:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}de classe C1C^1, telle que pour tout x∈Rnx\in\mathbb{R}^n,

∑k=1nxk∂f∂xk(x)≥∥x∥\sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial f}{\partial x_k}(x)\geq\|x\|

où ∥⋅∥\|\cdot\| désigne la norme euclidienne canonique. Montrer que

lim⁡∥x∥→+∞f(x)=+∞\lim_{\|x\|\to+\infty}f(x)=+\infty
Indication›

Pour un vecteur xx fixé, étudier la fonction d’une variableg(t)=f(tx)g(t)=f(tx) sur[0,1][0,1].

Corrigé›

Fixons x∈Rnx\in\mathbb{R}^n et posons

g(t)=f(tx),0≤t≤1g(t)=f(tx),\qquad 0\leq t\leq1

Pour t∈]0,1]t\in]0,1], la règle de la chaîne donne

g′(t)=∑k=1nxk∂f∂xk(tx)=1t∑k=1n(txk)∂f∂xk(tx)\begin{aligned} g'(t) &=\sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial f}{\partial x_k}(tx)\\ &=\frac1t\sum_{k=1}^n(tx_k) \frac{\partial f}{\partial x_k}(tx) \end{aligned}

L’hypothèse appliquée au vecteur txtx donne

g′(t)≥1t∥tx∥=∥x∥g'(t)\geq\frac1t\|tx\|=\|x\|

En intégrant entre 00 et 11,

f(x)−f(0)=g(1)−g(0)=∫01g′(t) dt≥∥x∥f(x)-f(0)=g(1)-g(0) =\int_0^1g'(t)\,dt \geq\|x\|

Ainsi, pour tout x∈Rnx\in\mathbb{R}^n,

f(x)≥f(0)+∥x∥f(x)\geq f(0)+\|x\|

Le membre de droite tend vers +∞+\infty lorsque ∥x∥→+∞\|x\|\to+\infty. Donc

lim⁡∥x∥→+∞f(x)=+∞\boxed{\displaystyle \lim_{\|x\|\to+\infty}f(x)=+\infty}

Exercice 4—Normes, disque unité et extrema

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir
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Exercice 5—Continuité, régularité et dérivées mixtes

Exercice tombé en 2023

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Exercice 6—Prolongement continu d’un taux d’accroissement

Exercice tombé en 2023

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Exercice 7—Résolution d’une équation aux dérivées partielles

Exercice tombé en 2023

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Exercice 8—Formule d’Euler pour les fonctions homogènes

Exercice tombé en 2023

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