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Mines-PontsFilière PCAnalyse

Analyse générale

Cette sélection réunit des exercices d’oraux du concours Mines-Ponts en filière PC. Elle couvre notamment la topologie, les espaces normés, les équations fonctionnelles et la continuité. Cherchez d’abord à partir de l’énoncé, puis consultez les indications et les corrigés disponibles lorsque vous en avez besoin.

27 exercices disponibles

Exercices 2026

Exercice 1—Équation fonctionnelle f(f(f(x))) = f(x) avec f dérivable et positive

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Déterminer toutes les fonctions dérivables $f:\mathbb R\to\mathbb R$ telles que

\forall x\in\mathbb R,\quad f(f(f(x)))=f(x)\ge0.

Indication›

Corrigé›

Exercice 2—Argument principal et branches continues du logarithme complexe

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

On pose $\Omega=\mathbb C\setminus\mathbb R_-$ . Pour $z=x+iy\in\Omega$ , on note $\theta\in]-\pi,\pi[$ son argument principal.

1. Montrer qu’il existe $\delta\in\Omega$ tel que $\delta^2=z$ .

2. Montrer que $\theta=2\arctan\!\left(y/(x+|z|)\right)$ .

3. Construire une application continue $L_0:\Omega\to\mathbb C$ telle que $e^{L_0(z)}=z$ .

4. Déterminer toutes les applications continues $L:\Omega\to\mathbb C$ vérifiant cette propriété.

5. Montrer qu’il n’existe pas d’application continue $L:\mathbb C^*\to\mathbb C$ telle que $e^{L(z)}=z$ pour tout $z\ne0$ .

Indication›

Corrigé›

Exercice 3—Fonction continue surjective sur R+

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ continue et surjective.

1. Montrer que tout réel possède une infinité d’antécédents par $f$ .

2. Une fonction polynomiale peut-elle être surjective de $\mathbb R_+$ sur $\mathbb R$ ?

3. Une fonction polynomiale de $\mathbb C$ dans $\mathbb C$ est-elle nécessairement surjective ?

Indication›

Corrigé›

Exercice 4—Dérivabilité en 0 déduite de la limite de (f(4x)−f(x))/x

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue en $0$ . On suppose que

\lim_{x\to0}\frac{f(4x)-f(x)}x=\ell\in\mathbb R.

Montrer que $f$ est dérivable en $0$ . Le résultat subsiste-t-il sans l’hypothèse de continuité en $0$ ?

Indication›

Corrigé›

Exercice 5—Asymptotique de f(x) = x^(x^(1/x))

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $x>0$ , on pose $f(x)=x^{x^{1/x}}$ .

Déterminer, lorsque $x\to+\infty$ , les limites de $f(x)$ , de $f(x+1)-f(x)$ et de $f(x+1)/f(x)$ , puis donner un équivalent de $f(x)$ .

Indication›

Corrigé›

Exercice 6—Isométrie fixant 0 dans un espace strictement convexe

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $E$ un espace vectoriel normé réel dont la norme $N$ vérifie $N(a+b)<N(a)+N(b)$ dès que $a$ et $b$ ne sont pas colinéaires. Soit $u:E\to E$ telle que $u(0)=0$ et $N(u(x)-u(y))=N(x-y)$ pour tous $x,y$ .

1. Montrer que $u((x+y)/2)=(u(x)+u(y))/2$ .

2. Montrer que $u(\lambda x)=\lambda u(x)$ pour tout réel $\lambda$ , puis que $u$ est linéaire.

Indication›

Corrigé›

Exercice 7—Nombre de zéros d’une combinaison de puissances réelles par le théorème de Rolle

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $\alpha_1<\cdots<\alpha_n$ des réels et $a_1,\ldots,a_n$ des réels non tous nuls. Montrer que la fonction

f:x\longmapsto\sum_{k=1}^n a_kx^{\alpha_k}

admet au plus $n-1$ zéros distincts sur $]0,+\infty[$ .

Indication›

Corrigé›

Exercice 8—Résolution d’une équation réelle avec radicaux

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Résoudre dans $\mathbb R$ l’équation

\sqrt{x-\sqrt{x-4}}+\sqrt{x+5-6\sqrt{x-4}}=1.

Indication›

Corrigé›

Exercice 9—Somme de distances à des réels fixés

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $x_1<\cdots<x_n$ des réels. Montrer que la fonction $\varphi:x\mapsto\sum_{k=1}^n|x-x_k|$ est continue sur $\mathbb R$ et admet un minimum.

Indication›

Corrigé›

Exercice 10—Topologie de l’ensemble des matrices de projecteurs

Exercice tombé en 2026

DifficultéÀ définir

Énoncé

Dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$ muni de sa topologie usuelle, on considère

\mathcal P=\{A\in\mathcal M_n(\mathbb R):A^2=A\}.

Montrer que $\mathcal P$ est fermé. Est-il ouvert ? Est-il borné ?

Indication›

Corrigé›

Exercices 2023

Exercice 1—Intersection finie d’ouverts denses

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $A_1,\ldots,A_n$ des parties ouvertes et denses d’un espace vectoriel normé $E$ . Montrer que

A_1\cap\cdots\cap A_n

est ouverte et dense dans $E$ .

Indication›

L’ouverture est immédiate. Pour la densité, montrer par récurrence que toute boule ouverte rencontre $A_1\cap\cdots\cap A_k$ pour chaque $k$ .

Corrigé›

Une intersection finie d’ouverts est ouverte. Il reste à établir la densité.

Fixons $x\in E$ et $r>0$ . Nous montrons par récurrence sur $k\in\{1,\ldots,n\}$ que

A_1\cap\cdots\cap A_k\cap B(x,r)\neq\varnothing.

Pour $k=1$ , cela résulte de la densité de $A_1$ .

Supposons la propriété vraie à un rang $k<n$ . Il existe alors $b\in A_1\cap\cdots\cap A_k\cap B(x,r)$ . Comme cet ensemble est ouvert, il existe $s>0$ tel que

B(b,s)\subset A_1\cap\cdots\cap A_k\cap B(x,r).

La partie $A_{k+1}$ étant dense, la boule $B(b,s)$ la rencontre. Ainsi,

A_1\cap\cdots\cap A_{k+1}\cap B(x,r)\neq\varnothing.

Toute boule ouverte de $E$ rencontre donc l’intersection complète, ce qui prouve

\boxed{A_1\cap\cdots\cap A_n\text{ est ouverte et dense dans }E.}

Exercice 2—Densité des matrices diagonalisables

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

On note $D_n(\mathbb K)$ l’ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(\mathbb K)$ .

Montrer que $\overline{D_n(\mathbb C)}=M_n(\mathbb C)$ .
A-t-on $\overline{D_n(\mathbb R)}=M_n(\mathbb R)$ ?

Indication›

Sur $\mathbb C$ , triangulariser une matrice puis perturber légèrement les coefficients diagonaux afin de les rendre deux à deux distincts.

Sur $\mathbb R$ , identifier d’abord l’adhérence à l’ensemble des matrices trigonalisables sur $\mathbb R$ .

Corrigé›

1. Cas complexe

Soit $A\in M_n(\mathbb C)$ . Par le théorème de triangularisation, il existe une matrice inversible $P$ et une matrice triangulaire supérieure $T$ telles que

A=PTP^{-1}.

Notons $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ les coefficients diagonaux de $T$ . Pour tout entier $k\geq1$ , posons

T_k=T+\operatorname{diag}\!\left(\frac1k,\frac2k,\ldots,\frac nk\right).

En évitant au besoin un nombre fini de valeurs de $k$ , les nombres $\lambda_i+i/k$ sont deux à deux distincts. La matrice triangulaire $T_k$ possède alors $n$ valeurs propres distinctes et est donc diagonalisable.

En posant $A_k=PT_kP^{-1}$ , on a

A_k\in D_n(\mathbb C),\qquad A_k\longrightarrow A.

Ainsi,

\boxed{\overline{D_n(\mathbb C)}=M_n(\mathbb C).}

2. Cas réel

Notons $\mathcal T_n$ l’ensemble des matrices trigonalisables sur $\mathbb R$ . Toute matrice diagonalisable réelle appartient à $\mathcal T_n$ .

Montrons que $\mathcal T_n$ est fermé. Un polynôme unitaire réel $Q$ de degré $n$ est scindé sur $\mathbb R$ si et seulement si

\forall z\in\mathbb C,\qquad |\operatorname{Im}z|^n\leq |Q(z)|.

En effet, si $Q(X)=\prod_{j=1}^n(X-r_j)$ avec $r_j\in\mathbb R$ , alors $|z-r_j|\geq|\operatorname{Im}z|$ . Réciproquement, une racine non réelle contredirait immédiatement l’inégalité.

Si $A_m\in\mathcal T_n$ et $A_m\to A$ , les polynômes caractéristiques convergent coefficient par coefficient. En passant à la limite dans l’inégalité précédente, le polynôme caractéristique de $A$ est encore scindé sur $\mathbb R$ . Donc $A\in\mathcal T_n$ .

Inversement, toute matrice de $\mathcal T_n$ se rapproche de matrices triangulaires à diagonale réelle simple, donc diagonalisables, par la même perturbation que dans le cas complexe. Par conséquent,

\boxed{\overline{D_n(\mathbb R)}=\mathcal T_n.}

Pour $n\geq2$ , cet ensemble n’est pas tout $M_n(\mathbb R)$ : une rotation plane d’angle non multiple de $\pi$ possède des valeurs propres non réelles. Ainsi la réponse estnon.

Exercice 3—Voisinage fermé d’un convexe

Exercice tombé en 2023

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé de dimension finie et $A\subset E$ une partie non vide. Pour $x\in E$ , on pose

d(x,A)=\inf_{a\in A}\|x-a\|.

Pour $R>0$ , on note

A(R)=\{x\in E\mid d(x,A)\leq R\}.

Montrer que si $A$ est convexe, alors $A(R)$ est convexe et fermé.

Indication›

Pour la fermeture, montrer que la fonction $x\mapsto d(x,A)$ est $1$ -lipschitzienne.

Pour la convexité, approcher deux points de $A(R)$ par des points de $A$ .

Corrigé›

1. Fermeture

Pour tous $x,y\in E$ et tout $a\in A$ ,

d(x,A)\leq\|x-a\|\leq\|x-y\|+\|y-a\|.

En prenant l’infimum sur $a\in A$ , puis en échangeant $x$ et $y$ , on obtient

|d(x,A)-d(y,A)|\leq\|x-y\|.

La fonction distance à $A$ est donc continue, et

A(R)=d(\cdot,A)^{-1}([0,R])

est fermé.

2. Convexité

Soient $x,y\in A(R)$ , $t\in[0,1]$ et $z=(1-t)x+ty$ . Pour tout $\varepsilon>0$ , il existe $a,b\in A$ tels que

\|x-a\|\leq R+\varepsilon, \qquad \|y-b\|\leq R+\varepsilon.

Comme $A$ est convexe, $c=(1-t)a+tb$ appartient à $A$ . Alors

\begin{aligned} d(z,A)&\leq\|z-c\|\\ &\leq(1-t)\|x-a\|+t\|y-b\|\\ &\leq R+\varepsilon. \end{aligned}

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