Algèbre linéaire

Soient $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$, $n\ge1$ et $a_0,\ldots,a_n\in\mathbb K$ deux à deux distincts. Soit $P\in\mathbb K[X]$ de degré $n$.

1. Montrer que $(P(X+a_0),\ldots,P(X+a_n))$ est une base de $\mathbb K_n[X]$.

2. Pour $Q\in\mathbb K_n[X]$, montrer que la matrice $(Q(a_i+a_j))_{0\le i,j\le n}$ est inversible si et seulement si $\deg Q=n$.

Soient $E=\mathcal M_n(\mathbb C)$, $A\in E$ et $\varphi_A(M)=AM-MA$.

1. Montrer que $\varphi_A\in\mathcal L(E)$.

2. L’équation $\varphi_A(M)=I_n$ possède-t-elle une solution ?

3. Si $B\in E$ et si $\varphi_A(M)=B$ admet une solution, celle-ci est-elle unique ?

4. On suppose que $A\in\operatorname{Im}\varphi_A$. Montrer que $A$ est nilpotente.

5. Lorsque $A$ est nilpotente, déterminer $\ker\varphi_A$.

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u,v\in\mathcal L(E)$. Montrer que

Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie et $G$ un sous-groupe fini de $\operatorname{GL}(E)$, de cardinal $q$.

1. Si $\sum_{u\in G}\operatorname{tr}u=0$, montrer que $\sum_{u\in G}u=0$.

2. Montrer que $E_1=\{x\in E:\forall g\in G,\ g(x)=x\}$ est un sous-espace et que $\dim E_1=\frac1q\sum_{u\in G}\operatorname{tr}u$.

3. À partir d’un produit scalaire $(\cdot\mid\cdot)$ sur $E$, on définit

Montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire et que tous les éléments de $G$ sont orthogonaux pour ce produit scalaire.

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, où $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Calculer, en fonction de $\operatorname{rg}A$, la dimension de

1. Pour $M\in\mathcal M_n(\mathbb C)$, montrer que $\det(\overline M)=\overline{\det M}$.

2. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. Montrer que

Soient $A,B,C\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Montrer l’inégalité de rang

Soient $a\in\mathcal L(\mathbb R^2,\mathbb R^3)$ et $b\in\mathcal L(\mathbb R^3,\mathbb R^2)$ telles que la matrice de $a\circ b$ dans la base canonique soit

1. Montrer que $a\circ b$ est un projecteur.

2. Montrer que $b\circ a$ est un automorphisme.

3. Montrer que $b\circ a=\operatorname{id}_{\mathbb R^2}$.

Soit $\mathfrak S_n$ l’ensemble des permutations de $\{1,\ldots,n\}$.

1. Pour $\sigma\in\mathfrak S_n$, montrer que $\tau\mapsto\tau\circ\sigma$ est une permutation de $\mathfrak S_n$.

2. Soient $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$ et $f_\sigma\in\mathcal L(E)$ défini par $f_\sigma(e_i)=e_{\sigma(i)}$. On pose

Montrer que $p$ est un projecteur et déterminer son noyau et son image.

Soit $E=\{P\in\mathbb R[X]:P(0)=P'(0)=0\}$. Montrer que l’application

est un isomorphisme.

Déterminer les couples $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ tels que

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mathcal L(E)$ tel que $\operatorname{Im}(u)=\ker(u)$.

Montrer qu’il existe $v\in\mathcal L(E)$ tel que $uv+vu=\operatorname{id}_E$.