Algèbre générale

On note $\mathbb U=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$. Soient $d\in\mathbb N^*$ et

On suppose que $P(\mathbb U)\subset\mathbb U$.

1. Calculer
   $$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(e^{i\theta})\overline{P(e^{i\theta})}\,e^{-id\theta}\,d\theta$$
   et aboutir à une contradiction.
2. Déterminer tous les polynômes $Q\in\mathbb C[X]$ tels que$Q(\mathbb U)\subset\mathbb U$.

Soit $P\in\mathbb R[X]$ de degré$n\in\mathbb N$. Montrer qu’il existe des réels $a_1,\ldots,a_{n+1}$ tels que

Soit $n\ge1$. On considère un polynôme unitaire

et l’on pose $r_0=\max_{1\le j\le n}|\lambda_j|$.

1. Lorsque $P\ne X^n$, montrer que le polynôme
   $$X^n-\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|X^k$$
   possède une unique racine réelle strictement positive.
2. Soit $r>0$ tel que
   $$r^n\ge\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|r^k.$$
   Montrer que $r_0\le r$.
3. En déduire que
   $$r_0\le\max\left\{1,\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|\right\}.$$
4. En utilisant $Q(X)=(X-1)P(X)$, montrer que
   $$r_0\le |a_0|+\sum_{k=0}^{n-1}|a_{k+1}-a_k|.$$

Soit $P\in\mathbb C[X]$ un polynôme non nul de degré$n$ vérifiant, pour un signe$\varepsilon\in\{-1,1\}$,

1. Montrer que, si $z\ne0$ est une racine de$P$, alors$1/z$ est une racine de même multiplicité.
2. Montrer qu’il existe $\alpha,\beta,q\in\mathbb N$ et$Q\in\mathbb C[X]$, avec$\deg Q=q$, tels que
   $$P(X)=(X-1)^\alpha(X+1)^\beta X^qQ\!\left(X+\frac1X\right).$$
3. Factoriser le polynôme transcrit dans le compte rendu :
   $$A(X)=X^7-\frac32X^6+\frac52X^4+\frac52X^3-\frac32X^2+1.$$

   L’exposant du terme −3/2 X² est à confirmer : cette transcription n’est pas réciproque. Le manuscrit ne permet pas de valider ici un remplacement par X.

Pour tout $z\in\mathbb C$, on pose

On admet la formule d’addition

1. Montrer que l’application $z\mapsto\cos z$ est surjective de$\mathbb C$ sur$\mathbb C$.
2. Résoudre dans $\mathbb C^2$ l’équation$\cos z_1=\cos z_2$.
3. Soient $u,v\in\mathbb C$ tels que$u^2+v^2=1$. Montrer qu’il existe$z\in\mathbb C$ tel que
   $$u=\cos z,\qquad v=\sin z.$$

Soit $P\in\mathbb R[X]$ de degré$n\ge1$, sans racine réelle. On note $z_1,\ldots,z_n$ ses racines complexes, comptées avec multiplicité.

1. Montrer que, pour tout $z\notin\{z_1,\ldots,z_n\}$,
   $$\left|\frac{P'(z)}{P(z)}\right|^2\le n\sum_{k=1}^{n}\frac1{|z-z_k|^2}.$$
2. Montrer qu’il existe une constante $\alpha>0$, indépendante de$P$ et de$n$, telle que
   $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P'(x)^2}{P(x)^2+P'(x)^2}\,dx\le\alpha n^{3/2}.$$

Le carré manquant dans la première inégalité du manuscrit est rétabli. La valeur de la constante α n’est pas précisée dans le compte rendu.

Déterminer les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ tels que

Soient $n\ge1$ et$a_0,\ldots,a_{n-1}\ge0$, avec$a_0>0$. On pose

1. Montrer que $P$ admet une unique racine$\rho\in\mathbb R_+^*$.
2. Montrer que toute racine complexe $z$ de$P$ vérifie$|z|\le\rho$.
3. Montrer que
   $$\rho\le\max\{1,a_0+\cdots+a_{n-1}\}.$$
4. Montrer que
   $$\rho\le1+\max_{0\le k\le n-1}a_k.$$

Pour $n\in\mathbb N$, on pose

Montrer que $2^n$ divise$a_n$ pour tout$n\in\mathbb N$.

Soit $n\ge2$. On pose$P(X)=X^n-3X+7$ et l’on note$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ses racines complexes, comptées avec multiplicité.

1. Déterminer le nombre de racines réelles de $P$, comptées avec multiplicité.
2. Déterminer le nombre de racines complexes distinctes de $P$.
3. Expliciter
   $$Q(X)=\prod_{k=1}^{n}\left(X-\frac{\lambda_k}{1+\lambda_k}\right).$$
4. Expliciter
   $$R(X)=\prod_{k=1}^{n}(X-\lambda_k^2).$$

   La dernière question est transcrite avec λₖ². Le candidat signale une hésitation entre cette expression et un module.

Soient $n\in\mathbb N^*$ et$\theta\in\mathbb R$. Calculer les quatre expressions suivantes :

1. $$\sum_{k=0}^{n-1}\sin\!\left(\frac{k\pi+\theta}{n}\right).$$
2. $$\sum_{k=0}^{n-1}\cos\!\left(\frac{k\pi+\theta}{n}\right).$$
3. $$\prod_{k=0}^{n-1}\sin\!\left(\frac{k\pi+\theta}{n}\right).$$
4. $$\prod_{k=0}^{n-1}\cos\!\left(\frac{k\pi+\theta}{n}\right).$$

1. Soit $n\in\mathbb N$. Montrer que l’application
   $$\varphi:\mathbb R_n[X]\longrightarrow\mathbb R_n[X],\qquad P\longmapsto P-P'$$
   est bijective.
2. En déduire que, pour tout $Q\in\mathbb R[X]$, il existe un unique$R\in\mathbb R[X]$ tel que$R-R'=Q$.
3. On suppose que $Q(x)\ge0$ pour tout$x\in\mathbb R$. Montrer que$R(x)\ge0$ pour tout$x\in\mathbb R$.
4. On suppose que $R$ est scindé sur$\mathbb R$ à racines simples. Montrer que $Q$ est lui aussi scindé sur$\mathbb R$ à racines simples.

Déterminer le nombre de fonctions$f:\llbracket 1,n\rrbracket\to\llbracket 1,n\rrbracket$telles que $f\circ f=f$.

Pour deux ensembles $E$ et$F$, on note

Pour trois ensembles $A,B,C$, montrer que

Soit $n$ un entier impair supérieur ou égal à$3$. On pose$\omega=e^{2i\pi/n}$.

Calculer

et en déduire la valeur de