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Exercice 1—Suite de fonctions logarithmiques et série de produits

Exercice tombé en 2020 · RMS 1084

DifficultéÀ définir

Énoncé

On pose

f_0(x)=x,\qquad f_{n+1}(x)=\ln\!\left(\frac{e^{f_n(x)}-1}{f_n(x)}\right),\quad x>0.

Montrer que, pour $x>0$ , $x<e^x-1<xe^x$ .
Montrer que $(f_n)$ est bien définie et converge simplement vers la fonction nulle.
Écrire une fonction Python calculant $f_n(x)$ .
En posant $u_n=\prod_{k=0}^{n}f_k$ , montrer que $\sum u_n$ converge simplement.
Étudier $g(x)=\ln\!\left(1+\sum_{k=0}^{\infty}u_k(x)\right)$ .

Indication›

Le TAF sur l’exponentielle donne la première inégalité. Pour la dernière question, chercher une relation télescopique reliant $u_{n+1}$ , $u_n$ et $e^{f_{n+1}}$ .

Corrigé›

Par le théorème des accroissements finis appliqué à $\exp$ sur $[0,x]$ , il existe $c\in]0,x[$ tel que

\frac{e^x-1}{x}=e^c.

Donc

\boxed{x<e^x-1<xe^x}.

Si $f_n(x)>0$ , la première question donne

1<\frac{e^{f_n(x)}-1}{f_n(x)}<e^{f_n(x)},

donc

0<f_{n+1}(x)<f_n(x).

Pour tout $x>0$ , la suite $(f_n(x))$ décroît vers une limite $\ell_x\geq0$ . Si $\ell_x>0$ , le passage à la limite donnerait

e^{\ell_x}=\frac{e^{\ell_x}-1}{\ell_x},

contrairement à la première inégalité. Ainsi

\boxed{f_n(x)\to0\quad\text{pour tout }x>0}.

def f(n, x):
if n == 0:
    return x
y = f(n-1, x)
return np.log((np.exp(y)-1)/y)

Comme

\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=f_{n+1}(x)\longrightarrow0,

la série $\sum u_n(x)$ converge pour tout $x>0$ par d’Alembert.

La relation définissant $f_{n+1}$ s’écrit

f_n e^{f_{n+1}}=e^{f_n}-1.

Comme $f_n=u_n/u_{n-1}$ , on obtient

u_{n+1}=u_{n-1}e^{f_n}-u_{n-1}.

Sous la forme utilisée dans le corrigé, la somme télescope et donne

\sum_{k=0}^{n}u_k=u_0e^{f_1}-u_{n+1}e^{f_{n+2}}.

Or $u_{n+1}\to0$ et $f_{n+2}\to0$ . Donc

\sum_{k=0}^{\infty}u_k(x)=u_0(x)e^{f_1(x)}=e^x-1.

Finalement,

\boxed{g(x)=x\quad(x>0)}.

Exercice 2—Deux séries de fonctions construites avec la partie fractionnaire

Exercice tombé en 2020 · RMS 1085

DifficultéÀ définir

Énoncé

On pose

f(x,t)=\frac1{1+(x-t)^2}

puis

g(x,t)=f(\{x\},t)+f(\{x\},-t),

où $\{x\}$ désigne la partie fractionnaire de $x$ . On définit

S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}f(x,n),\qquad T(x)=\sum_{n=0}^{\infty}g(x,n).

Vérifier la bonne définition de $S$ et $T$ .
Tracer $T$ et conjecturer sa continuité.
Démontrer cette conjecture.
Montrer que $T$ est $1$ -périodique.
Comparer numériquement $S$ et $T$ à l’infini.
Démontrer la conjecture obtenue.

Indication›

La correction fournie ne traite que la bonne définition. Pour cette première partie, comparer les termes à $1/n^2$ lorsque $n\to\infty$ .

Corrigé›

Pour $x$ fixé,

f(x,n)=\frac1{1+(x-n)^2}\sim\frac1{n^2}.

La série $\sum f(x,n)$ converge donc, et $S(x)$ est bien définie. De même, $T(x)$ est somme de deux séries de même nature.

Corrigé source incomplet

Le document transmis porte explicitement la mention « à finir » pour cet exercice et ne fournit pas de démonstration des questions 2 à 6. Je conserve donc uniquement la partie réellement corrigée dans la source.

Exercice 3—Somme d’une série de fonctions trigonométriques

Exercice tombé en 2020 · RMS 1086

DifficultéÀ définir

Énoncé

On définit

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\cos^n(x)\sin(nx).

Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb R$ .
Montrer qu’elle est périodique.
Montrer qu’elle est de classe $\mathcal C^1$ sur $]0,\pi[$ .
Tracer son graphe.

Indication›

Dériver terme à terme sur tout segment compact de $]0,\pi[$ , puis sommer la série géométrique complexe obtenue pour $f'$ .

Corrigé›

Posons $u_n(x)=\frac1n\cos^n(x)\sin(nx)$ . Si $x\in\pi\mathbb Z$ , tous les termes sont nuls. Sinon,

|u_n(x)|\leq \frac{|\cos x|^n}{n}\leq |\cos x|^n,

et $|\cos x|<1$ , d’où la convergence absolue.

De plus,

u_n(x+\pi)=u_n(x),

donc $f$ est $\pi$ -périodique.

Un calcul direct donne

u_n'(x)=\cos^{n-1}(x)\cos((n+1)x).

Sur tout segment inclus dans $]0,\pi[$ , la série $\sum u_n'$ converge normalement. On peut donc dériver terme à terme :

f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\cos^{n-1}(x)\cos((n+1)x).

En prenant la partie réelle d’une série géométrique complexe,

\begin{aligned}f'(x)&=\Re\left(\frac{e^{2ix}}{1-\cos(x)e^{ix}}\right)\\&=\Re\left(\frac{e^{ix}}{i\sin x}\right)=1.\end{aligned}

Comme $f(\pi/2)=0$ ,

\boxed{f(x)=x-\frac\pi2\quad\text{sur } ]0,\pi[}.

La périodicité permet ensuite de reconstruire le graphe sur tout $\mathbb R$ .

Exercice 4—Convergences simple, normale et uniforme d’une série de fonctions

Exercice tombé en 2020 · RMS 1087

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $(a_n)$ une suite strictement décroissante de réels strictement positifs. On pose

u_n(x)=a_nx^n(1-x),\qquad x\in[0,1].

Donner une condition nécessaire et suffisante pour la convergence simple de $\sum u_n$ .
Même question pour la convergence normale.
Même question pour la convergence uniforme.

Indication›

Calculer le maximum de $x^n(1-x)$ sur $[0,1]$ . Pour la convergence uniforme, encadrer le reste à l’aide de $\sum_{k=n+1}^{\infty}x^k(1-x)=x^{n+1}$ .

Corrigé›

Pour $x=0$ ou $x=1$ , tous les termes sont nuls. Si $0<x<1$ ,

0<u_n(x)\leq a_0x^n,

donc la série converge par comparaison à une série géométrique. Il n’y a aucune condition supplémentaire :

\boxed{\text{convergence simple pour toute suite }(a_n)\text{ de l’énoncé}}.

Comme

u_n'(x)=a_nx^{n-1}(n-(n+1)x),

le maximum est atteint en $x=n/(n+1)$ et

\|u_n\|_\infty=\frac{a_n}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\sim\frac1e\frac{a_n}{n}.

Par conséquent,

\boxed{\sum u_n\text{ converge normalement}\iff \sum\frac{a_n}{n}\text{ converge}}.

La suite $(a_n)$ converge vers un $\ell\geq0$ . Pour le reste

R_n(x)=\sum_{k=n+1}^{\infty}a_kx^k(1-x),

on a, pour $0\leq x<1$ ,

\ell x^{n+1}\leq R_n(x)\leq a_{n+1}x^{n+1}.

Si $a_n\to0$ , alors $\|R_n\|_\infty\leq a_{n+1}\to0$ . Réciproquement, une convergence uniforme impose $\ell=0$ en faisant tendre $x$ vers $1$ dans l’encadrement.

\boxed{\sum u_n\text{ converge uniformément}\iff a_n\to0}.

Exercice 5—Régularité d’une somme de fonctions exponentielles

Exercice tombé en 2020 · RMS 1088

DifficultéÀ définir

Énoncé

On pose

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-nx}}{(n+x)^2}.

Déterminer le domaine de définition de $f$ .
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ .
Montrer que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+^*$ . Est-elle de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+$ ?

Indication›

Sur tout segment $[a,b]\subset\mathbb R_+^*$ , majorer uniformément la dérivée du terme général par une série exponentielle. Pour $x=0$ , étudier le quotient $(f(0)-f(x))/x$ .

Corrigé›

Si $x\geq0$ , tous les termes sont définis et

0\leq\frac{e^{-nx}}{(n+x)^2}\leq\frac1{n^2}.

Si $x<0$ , soit un dénominateur s’annule pour un entier, soit le terme général ne tend pas vers zéro. Ainsi

\boxed{D_f=\mathbb R_+}.

Pour $x\geq0$ ,

0\leq f(x)\leq\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}},

donc

\boxed{f(x)\to0\quad(x\to+\infty)}.

Si $u_n(x)=e^{-nx}/(n+x)^2$ , alors

u_n'(x)=-\frac{e^{-nx}}{(n+x)^3}(n^2+nx+2).

Sur $[a,b]\subset\mathbb R_+^*$ ,

|u_n'(x)|\leq e^{-na}\frac{n^2+bn+2}{n^3}.

La série de droite converge, donc la série des dérivées converge normalement. Ainsi $f\in\mathcal C^1(\mathbb R_+^*)$ .

En revanche, le corrigé montre par l’absurde que $f$ n’est pas dérivable en $0$ . Pour tout $N$ , le passage à la limite dans $(f(0)-f(x))/x$ donne une minoration par une somme comparable à $\sum_{n=1}^{N}1/n$ , impossible lorsque $N\to\infty$ .

\boxed{f\notin\mathcal C^1(\mathbb R_+)}.

Exercice 6—Produits de fonctions et intégrales asymptotiques

Exercice tombé en 2020 · RMS 1098

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $n\geq1$ , on pose

f_n(x)=\frac1{(1+x)(1+x/2)\cdots(1+x/n)},\qquad I_n=\int_0^1 f_n(x)\,dx.

Tracer numériquement $(\ln n)I_n$ et conjecturer sa limite.
Donner un équivalent de $H_n=1+1/2+\cdots+1/n$ .
Étudier la convergence simple et uniforme de $(f_n)$ sur $[0,1]$ .
Montrer que $x-x^2/2\leq\ln(1+x)\leq x$ pour $x\in[0,1]$ .
Prouver la conjecture.

Indication›

Écrire $-\ln f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\ln(1+x/k)$ et encadrer cette somme à l’aide de la question 4.

Corrigé›

On sait que

H_n\sim\ln n.

Pour $x=0$ , $f_n(0)=1$ . Pour $x\in]0,1]$ ,

-\ln f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{x}{k}\right)\sim xH_n\to+\infty,

donc $f_n(x)\to0$ . La limite simple est discontinue en zéro alors que chaque $f_n$ est continue : la convergence n’est pas uniforme.

Sur $[0,1]$ ,

x-\frac{x^2}{2}\leq\ln(1+x)\leq x.

En sommant avec $x/k$ , si

K_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2},

on obtient

xH_n-\frac{x^2}{2}K_n\leq\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{x}{k}\right)\leq xH_n.

Par conséquent, en posant $L_n=H_n+K_n/2$ ,

e^{-xH_n}\leq f_n(x)\leq e^{-xL_n}.

Après intégration entre $0$ et $1$ ,

\frac{1-e^{-H_n}}{H_n}\leq I_n\leq\frac{1-e^{-L_n}}{L_n}.

Comme $H_n\sim L_n\sim\ln n$ , le théorème des gendarmes donne

\boxed{I_n\sim\frac1{\ln n}\quad\text{et}\quad (\ln n)I_n\to1}.

Exercice 7—Série alternée de fonctions et représentation intégrale

Exercice tombé en 2020 · RMS 1108

DifficultéÀ définir

Énoncé

On pose

F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+x},\qquad G(x)=\int_0^{\infty}\frac{e^{-xs}}{1+e^{-s}}\,ds.

Déterminer le domaine de $G$ et montrer que $G\in\mathcal C^1$ .
Étudier les variations et limites de $G$ .
Tracer $G$ .
Déterminer le domaine de $F$ et étudier les convergences normale et uniforme sur $\mathbb R_+^*$ .
Tracer quelques sommes partielles et conjecturer.
Montrer l’unicité d’une fonction $H$ vérifiant $H(x)+H(x+1)=1/x$ et $H(x)\to0$ .
Conclure.

Indication›

Vérifier que $F$ et $G$ satisfont la même équation fonctionnelle et la même condition à l’infini.

Corrigé›

Pour $s\to+\infty$ , l’intégrande de $G$ est équivalent à $e^{-xs}$ . Ainsi

D_G=]0,+\infty[.

Les dérivées par rapport à $x$ se dominent localement par $s^ke^{-as}$ , donc $G$ est même de classe $\mathcal C^\infty$ sur ce domaine. De plus

G'(x)=-\int_0^{\infty}\frac{s e^{-xs}}{1+e^{-s}}\,ds<0.

Comme $1\leq1+e^{-s}\leq2$ ,

\frac1{2x}\leq G(x)\leq\frac1x,

donc $G(x)\to+\infty$ en zéro et $G(x)\to0$ à l’infini.

Pour $F$ , le critère spécial des séries alternées donne la convergence dès que $x\notin-\mathbb N$ . Sur $\mathbb R_+^*$ , la convergence n’est pas normale car

\left\|\frac{(-1)^n}{n+x}\right\|_{\infty}=\frac1n,

mais elle est uniforme par la majoration du reste alterné $\|R_N\|_\infty\leq1/(N+1)$ .

Si deux fonctions $H_1,H_2$ vérifient $H(x)+H(x+1)=1/x$ et tendent vers zéro à l’infini, leur différence $h$ satisfait $h(x+1)=-h(x)$ , donc $h(x+2n)=h(x)$ . En faisant tendre $n$ vers l’infini, on obtient $h(x)=0$ .

Or

G(x+1)+G(x)=\int_0^{\infty}e^{-xs}\,ds=\frac1x

et, par changement d’indice,

F(x+1)+F(x)=\frac1x.

Enfin $F(x)\to0$ quand $x\to+\infty$ , grâce à la convergence uniforme des sommes partielles et au fait qu’une somme finie tend vers zéro.

\boxed{F(x)=G(x)\quad\text{pour tout }x>0}.

Exercice 8—Série d’intégrales à noyau exponentiel

Exercice tombé en 2020 · RMS 1109

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $p\in\mathbb N$ , $A>0$ et $f\in\mathcal C^0([0,A],\mathbb R)$ . Pour $x\in[0,A]$ , on pose

S_p(f)(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k!}\int_0^A f(t)e^{kp(x-t)}\,dt.

Montrer que $S_p(f)(x)$ est bien défini.
Montrer que $S_p(f)(x)=\int_0^A f(t)\left(1-e^{-e^{p(x-t)}}\right)dt$ .
Programmer et tester pour plusieurs fonctions.
Conjecturer puis démontrer la limite quand $p\to+\infty$ .

Indication›

Pour les deux premières questions, majorer la norme uniforme du terme de la série par une série exponentielle. Le document source ne fournit pas la fin de la démonstration demandée en question 4.

Corrigé›

Pour $p$ et $x$ fixés, posons

u_k(t)=\frac{(-1)^{k+1}}{k!}f(t)e^{kp(x-t)}.

Alors

\left|\int_0^A u_k(t)dt\right|\leq \|f\|_\infty\frac{(e^{px})^k}{k!}.

Le majorant est le terme général d’une série convergente, donc la série définissant $S_p(f)(x)$ converge absolument.

De plus,

\|u_k\|_\infty\leq\|f\|_\infty\frac{(e^{px})^k}{k!},

donc la série de fonctions converge normalement sur $[0,A]$ et l’on peut intégrer terme à terme :

\begin{aligned}S_p(f)(x)&=\int_0^A f(t)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k!}e^{kp(x-t)}dt\\&=\int_0^A f(t)\left(1-e^{-e^{p(x-t)}}\right)dt.\end{aligned}

Corrigé source incomplet

Le PDF transmis s’arrête après cette identité et ne contient pas le code Python ni la démonstration finale de la limite en $p$ .

Suites et séries de fonctions

Exercices 2020

Exercice 1—Suite de fonctions logarithmiques et série de produits

Exercice 2—Deux séries de fonctions construites avec la partie fractionnaire

Exercice 3—Somme d’une série de fonctions trigonométriques

Exercice 4—Convergences simple, normale et uniforme d’une série de fonctions

Exercice 5—Régularité d’une somme de fonctions exponentielles

Exercice 6—Produits de fonctions et intégrales asymptotiques

Exercice 7—Série alternée de fonctions et représentation intégrale

Exercice 8—Série d’intégrales à noyau exponentiel