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Exercice 1—Suite définie par la moyenne des carrés

Exercice tombé en 2020 · RMS 1075

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $x\in\mathbb R$ . On définit la suite $(u_n)_{n\geq0}$ par

u_0=x,\qquad u_{n+1}=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^{n}u_k^2.

Montrer que $u_{n+1}=\frac1{n+1}u_n^2+\frac n{n+1}u_n$ .
Écrire une fonction Python $u(n,x)$ renvoyant $u_n$ .
Rappeler le résultat de Cesàro pour une suite convergente.
Étudier la limite de $(u_n)$ selon la valeur de $x$ , notamment pour $x>1$ et $0<x<1$ .
Pour $0<x<1$ , montrer que la série $\sum u_n$ diverge.

Indication›

La relation de récurrence obtenue à la question 1 permet de comparer $u_{n+1}$ et $u_n$ . Si une limite finie existe, utiliser Cesàro sur la suite $u_n^2$ .

Corrigé›

De la définition,

(n+1)u_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}u_k^2=nu_n+u_n^2,

d’où

\boxed{u_{n+1}=\frac{n}{n+1}u_n+\frac1{n+1}u_n^2}.

def u(n, x):
if n == 0:
    return x
v = u(n-1, x)
return ((n-1)*v + v**2)/n

La question 3 est le théorème classique de Cesàro : si $a_n\to\ell$ , alors

\frac1{n+1}\sum_{k=0}^{n}a_k\longrightarrow\ell.

Cas $x>1$

On montre par récurrence que $u_{n+1}>u_n>1$ . La suite est donc croissante. Si elle avait une limite finie $\ell$ , alors Cesàro appliqué à $u_n^2$ donnerait $\ell=\ell^2$ , impossible puisque $\ell\geq u_0>1$ . Donc

\boxed{u_n\to+\infty\quad(x>1)}.

Pour $x=1$ , on a simplement $u_n=1$ pour tout $n$ .

Cas $0<x<1$

Cette fois, $0<u_{n+1}<u_n<1$ . La suite converge vers un $\ell\in[0,1[$ . Le même argument de Cesàro donne $\ell=\ell^2$ , donc

\boxed{u_n\to0}.

Supposons enfin, par l’absurde, que $\sum u_n$ converge. Comme $u_n\to0$ , on a $u_n^2=o(u_n)$ , donc $\sum u_n^2$ convergerait aussi. Or

u_n^2=(n+1)u_{n+1}-nu_n

et, en sommant,

nu_n=\sum_{k=0}^{n-1}u_k^2\longrightarrow \alpha=\sum_{k=0}^{\infty}u_k^2>0.

Ainsi $u_n\sim\alpha/n$ , ce qui contredit la convergence de $\sum u_n$ .

\boxed{\sum u_n\text{ diverge pour }0<x<1}.

Exercice 2—Suite uₙ₊₁ = uₙ arctan(uₙ)

Exercice tombé en 2020 · RMS 1076

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $u_0>0$ et

u_{n+1}=u_n\arctan(u_n).

Si $u_n\to0$ , donner la nature de $\sum u_n$ .
Si $u_n\to+\infty$ , donner la nature de $\sum 1/u_n$ .
Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ .

Indication›

Pour les deux séries, utiliser d’Alembert. Pour la suite, étudier le signe de $u_{n+1}-u_n=u_n(\arctan u_n-1)$ .

Corrigé›

Si $u_n\to0$ , alors

\frac{u_{n+1}}{u_n}=\arctan(u_n)\longrightarrow0<1,

donc $\sum u_n$ converge par d’Alembert.

Si $u_n\to+\infty$ , alors

\frac{1/u_{n+1}}{1/u_n}=\frac1{\arctan(u_n)}\longrightarrow\frac2\pi<1,

donc $\sum 1/u_n$ converge.

Correction d’une coquille du document source

Le corrigé fourni utilise $\pi/4$ comme point fixe positif, ce qui est incompatible avec l’équation. Le point fixe positif vérifie $\arctan(\alpha)=1$ , donc $\alpha=\tan(1)$ .

Comme $u_n>0$ , le signe de $u_{n+1}-u_n$ est celui de $\arctan(u_n)-1$ . Posons

\alpha=\tan(1).

Si $0<u_0<\alpha$ , la suite est décroissante et reste dans $]0,\alpha[$ . Sa limite $\ell$ vérifie $\ell=\ell\arctan\ell$ ; comme $\ell<\alpha$ , on obtient $\ell=0$ .

Si $u_0=\alpha$ , la suite est constante. Si $u_0>\alpha$ , elle est croissante; une limite finie serait nécessairement $\alpha$ , ce qui est impossible puisque tous les termes sont $>u_0>\alpha$ . Ainsi elle tend vers $+\infty$ .

\boxed{\begin{cases}u_n\to0,&0<u_0<\tan1,\\u_n=\tan1,&u_0=\tan1,\\u_n\to+\infty,&u_0>\tan1.\end{cases}}

Exercice 3—Sommes de puissances et série des inverses

Exercice tombé en 2020 · RMS 1077

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $k,n\in\mathbb N^*$ , on pose

S_k(n)=\sum_{j=1}^{n}j^k,\qquad T_k(n)=\sum_{j=1}^{n}\frac1{S_k(j)},\qquad M_k=\sum_{j=1}^{\infty}\frac1{S_k(j)}.

Calculer $S_1(n)$ puis $M_1$ .
Montrer que $M_k$ est fini pour tout $k$ .
Programmer $T_k(n)$ .
Conjecturer le comportement de $(M_k)$ .
Démontrer la conjecture.

Indication›

Pour la limite, isoler le premier terme de $M_k$ , puis séparer la somme entre $2\leq n\leq k$ et $n\geq k+1$ .

Corrigé›

On a

S_1(n)=\frac{n(n+1)}2,

d’où

M_1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{n(n+1)}=2.

Pour $k\geq1$ , $S_k(n)\geq S_1(n)$ , donc $1/S_k(n)\leq1/S_1(n)$ . La série converge par comparaison.

def T(k, n):
S = 0
res = 0
for j in range(1, n+1):
    S += j**k
    res += 1/S
return res

Numériquement, $M_k$ semble décroître vers $1$ . La décroissance vient de $S_{k+1}(n)\geq S_k(n)$ pour tout $n$ .

Pour la limite, si $k\geq2$ ,

0\leq M_k-1=\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{1^k+2^k+\cdots+n^k}.

On sépare la somme :

M_k-1\leq \frac{k-1}{2^k}+\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac1{n^2}.

Les deux termes de droite tendent vers $0$ . Ainsi

\boxed{M_k\searrow1}.

Exercice 4—Deux séries trigonométriques à comportement différent

Exercice tombé en 2020 · RMS 1078

DifficultéÀ définir

Énoncé

Déterminer la nature des séries de termes généraux

u_n=\sin\!\left(\pi n\,\frac{n!}{\sum_{k=1}^{n}k!}\right)

et

v_n=\sin(\pi e n!).

Indication›

Pour $u_n$ , développer $S_n=\sum_{k=1}^{n}k!$ par rapport à $n!$ . Pour $v_n$ , utiliser le développement de $e$ avec reste intégral.

Corrigé›

Posons $S_n=\sum_{k=1}^{n}k!$ . Le corrigé obtient

\frac{S_n}{n!}=1+\frac1n+\frac1{n^2}+O\!\left(\frac1{n^3}\right).

Par inversion,

\frac{n!}{S_n}=1-\frac1n+O\!\left(\frac1{n^3}\right).

Ainsi

u_n=\sin\!\left(n\pi\left(1-\frac1n+O(n^{-3})\right)\right)=(-1)^{n+1}\sin(O(n^{-2})),

donc

|u_n|=O\!\left(\frac1{n^2}\right).

La série $\sum u_n$ est donc absolument convergente.

Pour la seconde série, la formule de Taylor avec reste intégral donne

e=\sum_{k=0}^{n+1}\frac1{k!}+R_{n+1},\qquad 0\leq R_{n+1}\leq\frac{e}{(n+2)!}.

Après multiplication par $n!$ ,

en!=p_n+\frac1{n+1}+r_n,\qquad p_n\in\mathbb N,\quad r_n=O(n^{-2}).

Le corrigé observe que $p_n$ a la parité de $n$ . Par conséquent,

v_n=\frac{(-1)^n}{n}+O\!\left(\frac1{n^2}\right).

On obtient une série convergente par le critère alterné, mais non absolument convergente :

\boxed{\sum v_n\text{ est semi-convergente}.

Exercice 5—Convergence rapide d’une série de valeurs d’une fonction

Exercice tombé en 2020 · RMS 1079

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $f\in\mathcal C^1(\mathbb R,\mathbb R_+^*)$ . On suppose que

\frac{f'(x)}{f(x)}\longrightarrow-\infty\qquad(x\to+\infty).

Montrer que la série $\sum f(n)$ converge.
Donner un équivalent de son reste.

Indication›

Pour tout $A>0$ , intégrer l’inégalité $f'/f\leq-A$ entre $n$ et $n+p$ .

Corrigé›

Pour tout $A>0$ , il existe $N_A$ tel que, pour $x\geq N_A$ ,

\frac{f'(x)}{f(x)}\leq-A.

Pour $n\geq N_A$ et $p\in\mathbb N$ ,

\ln\frac{f(n+p)}{f(n)}=\int_n^{n+p}\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx\leq-Ap,

d’où

0<\frac{f(n+p)}{f(n)}\leq e^{-Ap}.

En choisissant par exemple $A=1$ , on obtient une majoration géométrique de $f(n)$ , donc $\sum f(n)$ converge.

Notons le reste après le terme $n$

R_n=\sum_{p=0}^{\infty}f(n+p+1).

La majoration précédente donne

0\leq R_n\leq f(n)\frac{e^{-A}}{1-e^{-A}}.

Comme $A$ est arbitrairement grand,

R_n=o(f(n)).

Or

R_{n-1}=f(n)+R_n,

donc

\boxed{R_{n-1}\sim f(n)}.

Comme le souligne le corrigé, on a même $f(n+1)=o(f(n))$ , ce qui explique le décalage d’indice dans l’équivalent naturel du reste.

Suites et séries

Exercices 2020

Exercice 1—Suite définie par la moyenne des carrés

Exercice 2—Suite uₙ₊₁ = uₙ arctan(uₙ)

Exercice 3—Sommes de puissances et série des inverses

Exercice 4—Deux séries trigonométriques à comportement différent

Exercice 5—Convergence rapide d’une série de valeurs d’une fonction