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Exercice 1—Fonction de Lambert W et développement limité

Exercice tombé en 2020 · RMS 1089

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit

f(x)=xe^x.

Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$ , donner son développement et son rayon.
Montrer que $f$ induit une bijection de $[-1,+\infty[$ sur un intervalle $I$ . On note $W$ sa réciproque.
Tracer le graphe de $W$ .
Étudier la régularité de $W$ .
Montrer que $W$ possède un développement limité à tout ordre au voisinage de $0$ et déterminer les premiers termes.

Indication›

Utiliser le théorème de la bijection sur $[-1,+\infty[$ puis le théorème de la fonction réciproque. Pour le DL, écrire $W(y)=y+ay^2+by^3+o(y^3)$ et composer avec $f$ .

Corrigé›

On a

xe^x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n-1)!},

et le rayon de convergence est $+\infty$ .

Comme

f'(x)=(x+1)e^x,

la fonction est strictement croissante sur $[-1,+\infty[$ . Elle réalise donc une bijection

[-1,+\infty[\ \longrightarrow\ \left[-\frac1e,+\infty\right[.

Sa réciproque est la branche réelle usuelle $W$ .

import numpy as np
import scipy.optimize as resol
import matplotlib.pyplot as plt

def equation(x, y):
    return x*np.exp(x)-y

def W(y):
    guess = 0 if y < 10 else np.log(y)
    return resol.fsolve(lambda x: equation(x, y), guess)[0]

Sur $]-1/e,+\infty[$ , la dérivée de $f$ au point $W(y)$ est non nulle. Ainsi $W$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur cet intervalle et

W'(y)=\frac1{(W(y)+1)e^{W(y)}}=\frac1{y+e^{W(y)}}.

Au voisinage de zéro, $W(0)=0$ et $W'(0)=1$ . Écrivons

W(y)=y+ay^2+by^3+o(y^3).

Or

f(x)=x+x^2+\frac12x^3+o(x^3).

L’identité $W(f(x))=x$ donne

x=x+(a+1)x^2+\left(2a+b+\frac12\right)x^3+o(x^3).

Donc $a=-1$ et $b=3/2$ .

\boxed{W(y)=y-y^2+\frac32y^3+o(y^3)}.

Exercice 2—Équation fonctionnelle différentielle et série entière

Exercice tombé en 2020 · RMS 1090

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $\lambda\in]-1,1[$ . Trouver les fonctions $f\in\mathcal C^1(\mathbb R,\mathbb R)$ vérifiant

f'(x)=f(x)+f(\lambda x)

qui sont développables en série entière autour de $0$ sur tout $\mathbb R$ . Ces solutions sont-elles les seules ?

Indication›

Écrire $f(x)=\sum a_nx^n$ et identifier les coefficients. Pour montrer que toute solution est analytique, dériver successivement l’équation et majorer les dérivées sur un segment fixé.

Corrigé›

Supposons d’abord

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n

avec rayon infini. L’équation donne

\sum_{n=0}^{\infty}\left((n+1)a_{n+1}-(1+\lambda^n)a_n\right)x^n=0.

Par unicité du développement en série entière,

a_{n+1}=\frac{1+\lambda^n}{n+1}a_n.

Donc

\boxed{a_n=\frac{a_0}{n!}\prod_{k=0}^{n-1}(1+\lambda^k)}.

Comme $|\lambda|<1$ ,

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{|1+\lambda^n|}{n+1}\longrightarrow0,

donc la série obtenue a un rayon infini. Réciproquement, elle vérifie l’équation terme à terme. Les solutions analytiques sont donc les multiples scalaires de la fonction obtenue avec $a_0=1$ .

Le corrigé montre ensuite qu’il n’existe pas d’autres solutions $\mathcal C^1$ . Par récurrence, toute solution est de classe $\mathcal C^n$ pour tout $n$ et il existe des coefficients $b_{n,k}$ tels que

f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n}b_{n,k}f(\lambda^kx),\qquad |b_{n,k}|\leq2^{n-1}.

Sur un segment $[-|x|,|x|]$ , si $M_x=\sup|f|$ , on en déduit

|f^{(n+1)}(t)|\leq(n+2)2^nM_x.

Le reste intégral de Taylor en zéro vérifie alors une majoration de la forme

|R_n(f)(x)|\leq M_x\,\frac{(n+2)2^n}{(n+1)!}|x|^{n+1}\longrightarrow0.

Ainsi toute solution est égale à sa série de Taylor sur $\mathbb R$ .

\boxed{\text{Toutes les solutions sont les multiples scalaires de la solution entière ci-dessus.}}

Exercice 3—Rayon et somme d’une série entière définie par une intégrale

Exercice tombé en 2020 · RMS 1091

DifficultéÀ définir

Énoncé

On pose $a_0=1$ et, pour $n\geq1$ ,

a_n=\frac1{n!}\int_0^1 t(t-1)\cdots(t-n+1)\,dt.

Calculer le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$ .
Calculer sa somme.

Indication›

Encadrer $|a_n|$ entre des quantités de l’ordre de $1/n$ et $1/n^2$ . Pour la somme, utiliser le développement binomial de $(1+x)^t$ et justifier l’intégration terme à terme.

Corrigé›

Sur $[0,1]$ , les facteurs permettent d’écrire

|a_n|=\frac1{n!}\int_0^1 t(1-t)(2-t)\cdots(n-1-t)\,dt.

Le corrigé obtient, pour $n\geq3$ ,

\frac1{6n(n-1)}\leq |a_n|\leq\frac1{2n}.

Ces encadrements donnent

\boxed{R=1}.

Pour $|x|<1$ , on peut intégrer terme à terme car

\left\|\frac{t(t-1)\cdots(t-n+1)}{n!}x^n\right\|_\infty\leq |x|^n.

Par le développement binomial généralisé,

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t(t-1)\cdots(t-n+1)}{n!}x^n=(1+x)^t.

Ainsi

\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\int_0^1(1+x)^t\,dt=\frac{x}{\ln(1+x)}.

\boxed{S(x)=\frac{x}{\ln(1+x)}\quad(|x|<1)}.

Exercice 4—Coefficients centraux et fonctions génératrices

Exercice tombé en 2020 · RMS 1092

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $(p,q)\in\mathbb R^2$ , on note $a_{p,q}(n)$ le coefficient de $X^n$ dans $(X^2+pX+q)^n$ , et

f_{p,q}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{p,q}(n)x^n.

Montrer que $\frac1{\sqrt{1-4x}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}x^n$ .
Programmer $a_{p,q}(n)$ .
Étudier numériquement puis exactement $f_{2,1}$ .
Faire de même pour $f_{0,1}$ .

Indication›

Utiliser $X^2+2X+1=(X+1)^2$ puis, pour $p=0,q=1$ , distinguer les indices pairs et impairs.

Corrigé›

Le développement binomial de $(1+t)^{-1/2}$ donne, pour $|x|<1/4$ ,

\boxed{\frac1{\sqrt{1-4x}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}x^n}.

from numpy.polynomial import Polynomial

def a(p, q, n):
    P = Polynomial([q, p, 1])
    return (P**n).coef[n]

Comme $(X^2+2X+1)^n=(X+1)^{2n}$ ,

a_{2,1}(n)=\binom{2n}{n}.

Donc

\boxed{f_{2,1}(x)=\frac1{\sqrt{1-4x}}}.

D’autre part,

(X^2+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nkX^{2k}.

Ainsi

a_{0,1}(2p)=\binom{2p}{p},\qquad a_{0,1}(2p+1)=0.

Par conséquent,

\boxed{f_{0,1}(x)=\sum_{p=0}^{\infty}\binom{2p}{p}x^{2p}=\frac1{\sqrt{1-4x^2}}}.

Exercice 5—Développement d’une série entière autour d’un point intérieur

Exercice tombé en 2020 · RMS 1093

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ une série entière de rayon $1$ , et soit $t_0\in\mathbb R$ tel que $0<|t_0|<1$ .

Montrer que, pour $k\in\mathbb N$ et $0<r<1-|t_0|$ ,
$\int_0^{2\pi}g(t_0+re^{i\theta})e^{-ik\theta}\,d\theta=2\pi r^k\frac{g^{(k)}(t_0)}{k!}.$
Montrer que $\sum g^{(k)}(t_0)x^k/k!$ a un rayon de convergence au moins égal à $1-|t_0|$ .
Montrer que $g$ est développable en série entière au voisinage de $t_0$ .

Indication›

Pour la première question, développer $g(t_0+re^{i\theta})$ et intégrer terme à terme. Pour la dernière, utiliser la convergence absolue lorsque $|t_0|+|x|<1$ afin de réordonner la double somme.

Corrigé›

Si $r<1-|t_0|$ , alors $|t_0+re^{i\theta}|<1$ uniformément en $\theta$ . On peut donc intégrer terme à terme :

\int_0^{2\pi}g(t_0+re^{i\theta})e^{-ik\theta}d\theta=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_0^{2\pi}(t_0+re^{i\theta})^ne^{-ik\theta}d\theta.

En développant par le binôme, seule la puissance $e^{ik\theta}$ survit à l’intégration :

\int_0^{2\pi}(t_0+re^{i\theta})^ne^{-ik\theta}d\theta=\begin{cases}2\pi\binom nk t_0^{n-k}r^k,&n\geq k,\\0,&n<k.\end{cases}

Il vient

\boxed{\int_0^{2\pi}g(t_0+re^{i\theta})e^{-ik\theta}d\theta=2\pi r^k\frac{g^{(k)}(t_0)}{k!}}.

Si $M_r=\sup_{|z-t_0|=r}|g(z)|$ , alors

\left|\frac{g^{(k)}(t_0)}{k!}\right|\leq\frac{M_r}{r^k}.

La série $\sum g^{(k)}(t_0)x^k/k!$ converge donc pour tout $|x|<r$ . Comme $r<1-|t_0|$ est arbitraire,

R\geq1-|t_0|.

Fin remise au propre

Le document source marque sa propre preuve de la question 3 « à vérifier ». On peut terminer proprement par un réarrangement absolument convergent.

Pour $|x|<1-|t_0|$ , on a $|t_0|+|x|<1$ . Donc

\begin{aligned}g(t_0+x)&=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(t_0+x)^n\\&=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\sum_{k=0}^{n}\binom nk t_0^{n-k}x^k\\&=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{n=k}^{\infty}a_n\binom nk t_0^{n-k}\right)x^k.\end{aligned}

La double série est absolument convergente, et le coefficient entre parenthèses vaut $g^{(k)}(t_0)/k!$ . Ainsi

\boxed{g(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{g^{(k)}(t_0)}{k!}(t-t_0)^k\quad\text{si }|t-t_0|<1-|t_0|}.

Exercice 6—Série lacunaire Σxⁿ² et comportement en 1

Exercice tombé en 2020 · RMS 1094

DifficultéÀ définir

Énoncé

On pose

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n^2}.

Déterminer le domaine de définition de $f$ .
Montrer que $f$ est strictement positive.
Tracer la courbe et conjecturer son comportement au voisinage de $1$ .
Justifier l’existence de $G=\int_0^{\infty}e^{-t^2}dt$ puis montrer que $f(x)\sim G/\sqrt{1-x}$ lorsque $x\to1^-$ .

Indication›

Pour $0<x<1$ , comparer la somme à l’intégrale de la fonction décroissante $t\mapsto x^{t^2}$ , puis effectuer le changement de variable $u=t\sqrt{-\ln x}$ .

Corrigé›

La série converge exactement pour $|x|<1$ , donc

D_f=]-1,1[.

Pour $x\in]-1,1[$ , on regroupe les termes deux par deux :

f(x)=1+x+\sum_{p=1}^{\infty}x^{4p^2}\left(1+x^{4p+1}\right)>0.

L’intégrale $G=\int_0^{\infty}e^{-t^2}dt$ converge par comparaison classique à l’infini. Pour $0<x<1$ , la fonction $t\mapsto x^{t^2}$ est décroissante, donc

1+\int_1^{\infty}x^{t^2}dt\leq f(x)\leq\int_0^{\infty}x^{t^2}dt.

Or, avec $u=t\sqrt{-\ln x}$ ,

\int_0^{\infty}x^{t^2}dt=\frac1{\sqrt{-\ln x}}\int_0^{\infty}e^{-u^2}du=\frac{G}{\sqrt{-\ln x}}.

Le même équivalent vaut pour l’intégrale commençant en $1$ . Comme $-\ln x\sim1-x$ lorsque $x\to1^-$ ,

\boxed{f(x)\sim\frac{G}{\sqrt{1-x}}\qquad(x\to1^-)}.

Séries entières

Exercices 2020

Exercice 1—Fonction de Lambert W et développement limité

Exercice 2—Équation fonctionnelle différentielle et série entière

Exercice 3—Rayon et somme d’une série entière définie par une intégrale

Exercice 4—Coefficients centraux et fonctions génératrices

Exercice 5—Développement d’une série entière autour d’un point intérieur

Exercice 6—Série lacunaire Σxⁿ² et comportement en 1