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Exercice 1—Matrices de trace nulle et commutateurs

Exercice tombé en 2020 · RMS 1048

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit

H=\{M\in\mathcal M_n(\mathbb R)\,;\,\operatorname{tr}(M)=0\}.

Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ et déterminer sa dimension.
Montrer que toute matrice de $H$ est semblable à une matrice de diagonale nulle.
Montrer que toute matrice de $H$ peut s’écrire $AB-BA$ avec $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ .

Indication›

Pour la deuxième question, raisonner par récurrence sur $n$ et distinguer le cas d’une matrice scalaire.

Pour la troisième, introduire $D=\operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)$ et étudier l’image de l’application $N\mapsto DN-ND$ .

Corrigé›

1. L’hyperplan des matrices de trace nulle

L’application trace est une forme linéaire non nulle sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$ . Ainsi

H=\ker(\operatorname{tr})

est un sous-espace vectoriel, et comme $\dim\mathcal M_n(\mathbb R)=n^2$ ,

\boxed{\dim H=n^2-1}.

2. Une matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle

Montrons par récurrence sur $n\geq1$ la propriété suivante :

(P_n)\quad\text{Toute matrice de trace nulle de }\mathcal M_n(\mathbb R)\text{ est semblable à une matrice de diagonale nulle.}

Le cas $n=1$ est immédiat.

Supposons $(P_{n-1})$ vraie et soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ de trace nulle.

Si $A=\lambda I_n$ , alors $0=\operatorname{tr}(A)=n\lambda$ , donc $A=0$ , et le résultat est clair.

Supposons maintenant $A$ non scalaire. L’endomorphisme associé n’est pas une homothétie. Il existe donc un vecteur $e_1$ tel que $e_1$ et $e_2=f(e_1)$ soient linéairement indépendants.

On complète $(e_1,e_2)$ en une base. Dans cette base, la matrice de $f$ est de la forme

B=\begin{pmatrix}0&L\\C&B_0\end{pmatrix}.

Le premier coefficient diagonal est nul, et comme $\operatorname{tr}(B)=\operatorname{tr}(A)=0$ , on a $\operatorname{tr}(B_0)=0$ .

Par hypothèse de récurrence, $B_0$ est semblable à une matrice $C_0$ de diagonale nulle. Il existe donc $Q\in GL_{n-1}(\mathbb R)$ tel que

Q^{-1}B_0Q=C_0.

Avec $P=\operatorname{diag}(1,Q)$ , la matrice $P^{-1}BP$ a alors tous ses coefficients diagonaux nuls. La récurrence est achevée.

3. Écriture comme commutateur

Posons

D=\operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)

et définissons

g:N\longmapsto DN-ND.

Si $N=(n_{i,j})$ , alors

g(N)=\bigl((i-j)n_{i,j}\bigr)_{1\leq i,j\leq n}.

Ainsi $\operatorname{Im}g$ est contenue dans le sous-espace $Z$ des matrices de diagonale nulle.

De plus, $g(N)=0$ si et seulement si $N$ est diagonale. Donc

\dim\ker g=n

et, par le théorème du rang,

\dim\operatorname{Im}g=n^2-n=\dim Z.

On a donc $\operatorname{Im}g=Z$ .

Soit maintenant $M\in H$ . D’après la question précédente, il existe $P\in GL_n(\mathbb R)$ et $Z\in Z$ tels que

M=PZP^{-1}.

Comme $Z\in\operatorname{Im}g$ , il existe $N$ tel que $Z=DN-ND$ . Alors

\begin{aligned} M&=P(DN-ND)P^{-1}\\ &=(PDP^{-1})(PNP^{-1})-(PNP^{-1})(PDP^{-1}). \end{aligned}

En posant $A=PDP^{-1}$ et $B=PNP^{-1}$ ,

\boxed{M=AB-BA}.

Exercice 2—Similitude réelle à partir d’une similitude complexe

Exercice tombé en 2020 · RMS 1049

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ deux matrices réelles semblables dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$ . Montrer qu’elles sont semblables dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$ .

Indication›

Écrire une matrice de passage complexe sous la forme $P=Q+iR$ avec $Q,R$ réelles, puis considérer $\det(Q+zR)$ .

Corrigé›

Il existe $P\in GL_n(\mathbb C)$ telle que

P^{-1}AP=B,

c’est-à-dire $AP=PB$ . Écrivons

P=Q+iR,\qquad Q,R\in\mathcal M_n(\mathbb R).

En identifiant les parties réelle et imaginaire dans $AP=PB$ , on obtient

AQ=QB\qquad\text{et}\qquad AR=RB.

Donc, pour tout $z\in\mathbb C$ ,

A(Q+zR)=(Q+zR)B.

Considérons le polynôme

f(z)=\det(Q+zR).

On a

f(i)=\det(Q+iR)=\det P\neq0.

Ainsi $f$ n’est pas le polynôme nul. Il n’a qu’un nombre fini de racines complexes. Il existe donc $x_0\in\mathbb R$ tel que $f(x_0)\neq0$ .

Posons $P_0=Q+x_0R$ . Alors $P_0\in GL_n(\mathbb R)$ et

AP_0=P_0B.

Par conséquent,

\boxed{P_0^{-1}AP_0=B}.

Exercice 3—Sous-espace engendré par les matrices nilpotentes

Exercice tombé en 2020 · RMS 1050

DifficultéÀ définir

Énoncé

L’ensemble des matrices nilpotentes est-il un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ ?
Déterminer le sous-espace vectoriel engendré par les matrices nilpotentes.

Indication›

Pour la première question, regarder $E_{1,2}$ et $E_{2,1}$ .

Pour la seconde, montrer d’abord que toute combinaison linéaire de matrices nilpotentes est de trace nulle, puis décomposer une matrice de trace nulle en somme de matrices nilpotentes.

Corrigé›

1. Ce n’est pas un sous-espace vectoriel

Les matrices $E_{1,2}$ et $E_{2,1}$ sont nilpotentes, mais

E_{1,2}+E_{2,1}

ne l’est pas. L’ensemble des matrices nilpotentes n’est donc pas stable par addition.

2. Sous-espace engendré

Notons $\mathcal N$ l’ensemble des matrices nilpotentes et

H=\{M\in\mathcal M_n(\mathbb R)\,;\,\operatorname{tr}(M)=0\}.

Toute matrice nilpotente a toutes ses valeurs propres nulles, donc sa trace est nulle. Par linéarité,

\operatorname{Vect}(\mathcal N)\subset H.

Réciproquement, soit $A=(a_{i,j})\in H$ . On va annuler successivement les coefficients diagonaux en retranchant des matrices nilpotentes.

Si $a_{1,1}\neq0$ , posons $N_1$ nulle sauf sur le bloc des indices $1,2$ , où

N_1|_{\{1,2\}}= \begin{pmatrix} a_{1,1}&-a_{1,1}\\ a_{1,1}&-a_{1,1} \end{pmatrix}.

On a $N_1^2=0$ , donc $N_1$ est nilpotente, et $A_1=A-N_1$ vérifie encore $\operatorname{tr}(A_1)=0$ avec premier coefficient diagonal nul.

On recommence sur les indices $2,3$ , puis $3,4$ , etc. On construit ainsi des matrices nilpotentes $N_1,\ldots,N_{n-1}$ telles que

A_{n-1}=A-N_1-\cdots-N_{n-1}

a ses $n-1$ premiers coefficients diagonaux nuls. Comme sa trace est nulle, le dernier l’est aussi.

La matrice $A_{n-1}$ est donc de diagonale nulle. Elle se décompose en somme de sa partie strictement triangulaire inférieure $T_i$ et de sa partie strictement triangulaire supérieure $T_s$ . Ces deux matrices sont nilpotentes.

Ainsi

A=T_i+T_s+N_1+\cdots+N_{n-1}

est somme de matrices nilpotentes. Donc $H\subset\operatorname{Vect}(\mathcal N)$ .

\boxed{\operatorname{Vect}(\mathcal N)=\{M\in\mathcal M_n(\mathbb R)\,;\,\operatorname{tr}(M)=0\}}

Exercice 4—Diagonalisation d’une matrice en étoile

Exercice tombé en 2020 · RMS 1051

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $a_1,\ldots,a_{n-1},b_1,\ldots,b_{n-1}\in\mathbb R$ . On considère la matrice $M=(m_{i,j})\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telle que, pour $1\leq i\leq n-1$ ,

m_{n,i}=a_i,\qquad m_{i,n}=b_i,

tous les autres coefficients étant nuls.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit diagonalisable sur $\mathbb R$ .

Indication›

Calculer le polynôme caractéristique, puis distinguer les cas suivant $S=\sum_{i=1}^{n-1}a_ib_i$ et suivant que les deux familles $(a_i)$ et $(b_i)$ sont nulles ou non.

Corrigé›

Pour $\lambda\neq0$ , une opération sur la dernière colonne donne

\chi_M(\lambda)=\lambda^{n-2}\left(\lambda^2-\sum_{i=1}^{n-1}a_ib_i\right).

Cette identité étant polynomiale, elle reste vraie pour $\lambda=0$ . Posons

S=\sum_{i=1}^{n-1}a_ib_i.

Si $(a_1,\ldots,a_{n-1})=0$ , alors $M^2=0$ . Une matrice nilpotente diagonalisable est nulle ; ainsi $M$ est diagonalisable si et seulement si $(b_1,\ldots,b_{n-1})=0$ . Même conclusion en échangeant les rôles de $a$ et $b$ .

Supposons désormais les deux familles non nulles. Alors $\operatorname{rg}(M)=2$ , donc

\dim E_0(M)=n-2.

Si $S=0$ , le polynôme caractéristique vaut $X^n$ , alors que l’espace propre associé à 0 n’est que de dimension $n-2$ : $M$ n’est pas diagonalisable.
Si $S<0$ , $\chi_M$ n’est pas scindé sur $\mathbb R$ , donc $M$ n’est pas diagonalisable sur $\mathbb R$ .
Si $S>0$ , les valeurs propres sont $0$ , $\sqrt S$ et $-\sqrt S$ . Les deux dernières sont simples, et l’espace propre associé à 0 est de dimension $n-2$ : la somme des dimensions des espaces propres vaut $n$ .

Finalement,

\boxed{ M\text{ est diagonalisable} \iff \left[ \begin{array}{c} a_1=\cdots=a_{n-1}=b_1=\cdots=b_{n-1}=0\\ \text{ou}\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}a_ib_i>0 \end{array} \right] }

Exercice 5—Valeurs propres d’une matrice de rang deux

Exercice tombé en 2020 · RMS 1052 · Python

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $A_n=(a_{i,j})\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telle que

a_{1,j}=a_{n,j}=a_{j,1}=1\quad(1\leq j\leq n),

les autres coefficients étant nuls.

Donner le rang de $A_n$ .
Calculer à l’aide de Python les valeurs propres de $A_n$ pour $n\in\{2,\ldots,6\}$ .
Calculer $\operatorname{tr}(A_n^2)$ .
En déduire les valeurs propres de $A_n$ .

Indication›

Pour $n\geq3$ , le rang vaut 2. Il ne reste donc que deux valeurs propres éventuellement non nulles ; utiliser leur somme et la somme de leurs carrés.

Corrigé›

1. Rang

On lit directement sur les colonnes que

\operatorname{rg}(A_n)=1\text{ pour }n=2,\qquad \operatorname{rg}(A_n)=2\text{ pour }n\geq3.

2. Vérification Python

import numpy as np
import numpy.linalg as alg

def M(n):
    A = np.zeros((n, n))
    for j in range(n):
        A[0, j] = A[n-1, j] = 1
    for i in range(1, n-1):
        A[i, 0] = 1
    return A

for n in range(2, 7):
    print(alg.eigvals(M(n)))

3. Trace de $A_n^2$

Un calcul direct donne sur la diagonale de $A_n^2$ les coefficients $n,1,\ldots,1,n$ . Ainsi

\boxed{\operatorname{tr}(A_n^2)=2n}.

4. Valeurs propres

Pour $n\geq3$ , le rang vaut 2, donc 0 est valeur propre de multiplicité au moins $n-2$ . Le polynôme caractéristique s’écrit

\chi_{A_n}(X)=X^{n-2}(X-\lambda)(X-\mu).

Comme $\operatorname{tr}(A_n)=2$ et $\operatorname{tr}(A_n^2)=2n$ ,

\lambda+\mu=2,\qquad \lambda^2+\mu^2=2n.

On obtient, à l’ordre près,

\lambda=1+\sqrt{n-1},\qquad \mu=1-\sqrt{n-1}.

Donc

\boxed{\operatorname{Sp}(A_n)=\{0,1-\sqrt{n-1},1+\sqrt{n-1}\}}

avec 0 de multiplicité $n-2$ lorsque $n\geq3$ .

Exercice 6—Supplémentaire stable d’un sous-espace

Exercice tombé en 2020 · RMS 1053

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme diagonalisable de $E$ . Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ . Montrer que $F$ admet un supplémentaire $G$ stable par $f$ .

Indication›

Prendre une base de $F$ et une base de $E$ constituée de vecteurs propres de $f$ , puis compléter la première base en choisissant des vecteurs dans la seconde.

Corrigé›

Soit $(e_1,\ldots,e_p)$ une base de $F$ , et soit $(e'_1,\ldots,e'_n)$ une base de $E$ constituée de vecteurs propres de $f$ .

On complète la famille $(e_1,\ldots,e_p)$ en une base de $E$ en choisissant des vecteurs parmi $e'_1,\ldots,e'_n$ . Quitte à les réindexer, on obtient une base

(e_1,\ldots,e_p,e'_{p+1},\ldots,e'_n).

Posons

G=\operatorname{Vect}(e'_{p+1},\ldots,e'_n).

Alors $E=F\oplus G$ . De plus, $G$ est engendré par des vecteurs propres de $f$ , donc il est stable par $f$ .

\boxed{E=F\oplus G\quad\text{avec }f(G)\subset G.}

Exercice 7—L’endomorphisme M ↦ AM − MA

Exercice tombé en 2020 · RMS 1054

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ et

\mathcal A:M\longmapsto AM-MA.

L’endomorphisme $\mathcal A$ est-il injectif ?
Soit $B$ telle que $\mathcal A(B)=B$ . Montrer que, pour tout $k\in\mathbb N^*$ , $AB^k-B^kA=kB^k$ . En déduire que $B$ est nilpotente.
Soit $N=(n_{i,j})$ définie par $n_{i,i+1}=1$ pour $1\leq i\leq n-1$ , les autres coefficients étant nuls. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que $N$ soit vecteur propre de $\mathcal A$ associé à la valeur propre 1.

Indication›

Pour la deuxième question, faire une récurrence sur $k$ . Si $B$ n’était pas nilpotente, on obtiendrait une infinité de valeurs propres distinctes de $\mathcal A$ .

Pour la dernière, traduire $AN-NA=N$ en termes de colonnes de $A$ .

Corrigé›

1. Injectivité

Non, puisque

\mathcal A(I_n)=AI_n-I_nA=0

alors que $I_n\neq0$ .

2. Puissances de $B$

L’hypothèse $\mathcal A(B)=B$ s’écrit

AB-BA=B.

Montrons par récurrence que

AB^k-B^kA=kB^k.

Le cas $k=1$ est l’hypothèse. Si la formule est vraie au rang $k$ , alors

\begin{aligned} AB^{k+1}-B^{k+1}A &=(AB^k-B^kA)B+B^k(AB-BA)\\ &=kB^{k+1}+B^{k+1}\\ &=(k+1)B^{k+1}. \end{aligned}

Si $B$ n’était pas nilpotente, alors $B^k\neq0$ pour tout $k$ . L’égalité précédente signifie alors

\mathcal A(B^k)=kB^k,

donc tous les entiers positifs seraient valeurs propres de l’endomorphisme $\mathcal A$ . C’est impossible dans l’espace de dimension finie $\mathcal M_n(\mathbb R)$ . Ainsi

\boxed{B\text{ est nilpotente}.}

3. Condition sur $A$

Notons $X_1,\ldots,X_n$ les colonnes de $A$ et écrivons

X_n=(a_1,\ldots,a_n)^T.

La condition recherchée est

AN-NA=N.

Elle donne successivement

\begin{aligned} X_{n-1}&=NX_n+E_{n-1}=(a_2,\ldots,a_{n-1},1+a_n,0)^T,\\ X_{n-2}&=NX_{n-1}+E_{n-2}=(a_3,\ldots,a_{n-1},2+a_n,0,0)^T, \end{aligned}

et, de proche en proche,

X_2=(a_{n-1},n-2+a_n,0,\ldots,0)^T,\qquad X_1=(n-1+a_n,0,\ldots,0)^T.

On obtient donc exactement les matrices de la forme

\boxed{ A= \begin{pmatrix} a_n+n-1&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots&a_1\\ 0&a_n+n-2&a_{n-1}&\cdots&a_2\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&a_n+1&a_{n-1}\\ 0&\cdots&\cdots&0&a_n \end{pmatrix} }

et la réciproque se vérifie immédiatement en calculant $AN-NA$ .

Exercice 8—Commutateur central et nilpotence

Exercice tombé en 2020 · RMS 1055

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $M\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ .

Montrer que $M$ est nilpotente si et seulement si $\operatorname{Sp}(M)=\{0\}$ .
Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ et $C=[A,B]=AB-BA$ . On suppose que $C$ commute avec $A$ et $B$ . Montrer que, pour tout $k\in\mathbb N^*$ , $\operatorname{tr}(C^k)=0$ . En déduire que $C$ est nilpotente.

Indication›

Pour les traces, écrire $C^{k+1}=C^k(AB-BA)$ puis utiliser la commutation de $C$ avec $A,B$ et la cyclicité de la trace. Pour conclure, utiliser un système de Vandermonde sur les valeurs propres non nulles distinctes de $C$ .

Corrigé›

1. Caractérisation spectrale de la nilpotence

Si $M$ est nilpotente, il existe $r$ tel que $M^r=0$ . Si $\lambda$ est une valeur propre de $M$ , alors $\lambda^r$ est valeur propre de $M^r$ , donc $\lambda^r=0$ et $\lambda=0$ .

Réciproquement, si $\operatorname{Sp}(M)=\{0\}$ , la matrice $M$ est trigonalisable sur $\mathbb C$ et semblable à une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle, donc strictement triangulaire supérieure. Une telle matrice est nilpotente.

\boxed{M\text{ nilpotente}\iff\operatorname{Sp}(M)=\{0\}.}

2. Le commutateur $C$

Pour tout $k\in\mathbb N$ ,

\operatorname{tr}(C^{k+1}) =\operatorname{tr}(C^kAB)-\operatorname{tr}(C^kBA).

Comme $C^k$ commute avec $A$ et $B$ ,

\begin{aligned} \operatorname{tr}(C^kBA) &=\operatorname{tr}(BC^kA)\\ &=\operatorname{tr}(ABC^k)\\ &=\operatorname{tr}(C^kAB). \end{aligned}

Donc

\boxed{\operatorname{tr}(C^m)=0\quad\text{pour tout }m\geq1}.

Supposons par l’absurde que $C$ ne soit pas nilpotente. D’après la première question, $C$ possède au moins une valeur propre non nulle. Notons $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$ ses valeurs propres non nulles distinctes, de multiplicités respectives $m_1,\ldots,m_p$ .

En trigonalisant $C$ , on obtient pour tout $k\geq1$

0=\operatorname{tr}(C^k)=\sum_{i=1}^{p}m_i\lambda_i^k.

Si $p=1$ , l’égalité pour $k=1$ donne $m_1\lambda_1=0$ , contradiction.

Si $p\geq2$ , les égalités pour $k=1,\ldots,p$ forment un système homogène en les inconnues $m_1,\ldots,m_p$ , de déterminant

\left(\prod_{i=1}^{p}\lambda_i\right) \prod_{1\leq i<j\leq p}(\lambda_j-\lambda_i)\neq0.

Le système n’admet donc que la solution nulle, contradiction puisque les multiplicités sont strictement positives.

Il n’existe donc aucune valeur propre non nulle, et la première question donne

\boxed{C\text{ est nilpotente}.}

Exercice 9—Vecteur cyclique et espaces propres de dimension 1

Exercice tombé en 2020 · RMS 1056

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f\in\mathcal L(E)$ diagonalisable. Montrer qu’il existe $x\in E$ tel que $(x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))$ soit libre si et seulement si les sous-espaces propres de $f$ sont de dimension 1.

Indication›

Dans le sens direct, utiliser la base $(x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))$ et regarder le rang de $f-\lambda\operatorname{id}$ .

Dans le sens réciproque, choisir une base de vecteurs propres associée à des valeurs propres toutes distinctes et prendre $x=e_1+\cdots+e_n$ .

Corrigé›

Sens direct

Supposons que $\mathcal B=(x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))$ soit libre. Comme elle contient $n$ vecteurs, c’est une base de $E$ . Dans cette base, la matrice de $f$ est de la forme

A= \begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&a_1\\ 1&0&\ddots&\vdots&a_2\\ 0&1&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&a_n \end{pmatrix}.

Si $\lambda\in\operatorname{Sp}(f)$ , alors $\operatorname{rg}(f-\lambda\operatorname{id})\leq n-1$ . Mais la matrice $A-\lambda I_n$ possède dans ses $n-1$ premières colonnes une structure échelonnée avec des 1 sur la sous-diagonale, donc son rang est au moins $n-1$ .

Ainsi

\operatorname{rg}(f-\lambda\operatorname{id})=n-1

et, par le théorème du rang,

\boxed{\dim E_\lambda(f)=1}.

Réciproque

Supposons maintenant que tous les sous-espaces propres soient de dimension 1. Comme $f$ est diagonalisable, il possède alors $n$ valeurs propres distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ , et une base $(e_1,\ldots,e_n)$ telle que

f(e_i)=\lambda_i e_i.

Posons

x=\sum_{i=1}^{n}e_i.

Alors, pour tout $k\in\mathbb N$ ,

f^k(x)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i^k e_i.

Le déterminant des coordonnées de $(x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))$ dans la base $(e_i)$ est un Vandermonde :

\det= \begin{vmatrix} 1&\lambda_1&\lambda_1^2&\cdots&\lambda_1^{n-1}\\ 1&\lambda_2&\lambda_2^2&\cdots&\lambda_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&\lambda_n&\lambda_n^2&\cdots&\lambda_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{1\leq i<j\leq n}(\lambda_j-\lambda_i)\neq0.

La famille est donc libre.

Exercice 10—Matrice compagnon et puissances des racines

Exercice tombé en 2020 · RMS 1057 · Python

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $E$ l’ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb Z$ .

Soient $(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\mathbb C^n$ et
$A= \begin{pmatrix} 0&\cdots&\cdots&0&-a_0\\ 1&\ddots&&\vdots&-a_1\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0&-a_{n-2}\\ 0&\cdots&0&1&-a_{n-1} \end{pmatrix}.$
Calculer le polynôme caractéristique de $A$ .
Soit $P(X)=(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_n)\in E$ . Pour $q\in\mathbb N^*$ , on définit
$r_q(P)=(X-\lambda_1^q)\cdots(X-\lambda_n^q).$
1. Écrire une fonction Python $r(q,P)$ qui renvoie $r_q(P)$ .
2. Tester pour quelques valeurs. Que peut-on conjecturer ?
3. Démontrer la conjecture à l’aide de la première question.

Indication›

La matrice de la première question est la matrice compagnon du polynôme $X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$ . Pour la dernière question, appliquer le résultat à la puissance $A^q$ .

Corrigé›

1. Polynôme caractéristique

On calcule

\chi_A(\lambda)= \begin{vmatrix} \lambda&0&\cdots&0&a_0\\ -1&\lambda&\ddots&\vdots&a_1\\ 0&-1&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\lambda&a_{n-2}\\ 0&\cdots&0&-1&\lambda+a_{n-1} \end{vmatrix}.

En effectuant

L_1\leftarrow L_1+\sum_{i=2}^{n}\lambda^{i-1}L_i,

la première ligne devient nulle sauf en dernière position, où l’on obtient

P(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0.

Le développement suivant la première ligne donne donc

\boxed{\chi_A(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0}.

2.a. Fonction Python

import numpy as np
from numpy.polynomial import Polynomial

def r(q, P):
    racines = P.roots()
    R = Polynomial([1])
    for k in range(len(racines)):
        R *= Polynomial([-racines[k]**q, 1])
    return R

2.b. Conjecture

P = Polynomial([2, -5, 1])
for q in range(2, 6):
    print(r(q, P))

On conjecture :

\boxed{P\text{ unitaire à coefficients entiers}\Longrightarrow r_q(P)\text{ unitaire à coefficients entiers}.}

2.c. Preuve

Lemme. Si une matrice est à coefficients entiers, son polynôme caractéristique est à coefficients entiers. Cela découle immédiatement de la formule du déterminant, ou par récurrence sur la taille.

Écrivons

P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0=(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_n).

Introduisons la matrice compagnon $A$ de la première question. Elle est à coefficients entiers, donc $A^q$ aussi.

La matrice $A$ est trigonalisable sur $\mathbb C$ , semblable à une matrice triangulaire supérieure de diagonale $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ . Par conséquent, $A^q$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure de diagonale $\lambda_1^q,\ldots,\lambda_n^q$ .

Ainsi

\chi_{A^q}(X)=\prod_{i=1}^{n}(X-\lambda_i^q)=r_q(P).

Comme $A^q$ est à coefficients entiers, le lemme montre que $r_q(P)$ est à coefficients entiers. Il est évidemment unitaire.

Exercice 11—Algorithme de Souriau-Faddeev

Exercice tombé en 2020 · RMS 1058 · Python

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $A\in\mathcal M_p(\mathbb C)$ , on définit une suite $(A_k)_{k\geq1}$ par

A_1=A,\qquad A_{k+1}=A\left(A_k-\frac{\operatorname{tr}(A_k)}{k}I_p\right).

On note

\chi_A(X)=X^p+\sum_{k=0}^{p-1}a_{p-k}X^k=X^p+a_1X^{p-1}+\cdots+a_p.

Pour
$A=\begin{pmatrix} 1&-4&1&1\\ -1&1&0&1\\ 0&0&-2&1\\ 0&0&1&-3 \end{pmatrix},$
écrire en Python une fonction renvoyant $A_k$ et $\alpha_k=-\operatorname{tr}(A_k)/k$ . Calculer $\chi_A$ sans Python et énoncer une conjecture.
Soit $P=X^p+\sum_{k=0}^{p-1}a_{p-k}X^k=\prod_{i=1}^{p}(X-\lambda_i)$ . Montrer que $P'/P=\sum_{i=1}^{p}1/(X-\lambda_i)$ . En déduire un développement en série entière autour de 0 de $x\mapsto P'(1/x)/P(1/x)$ .
En posant $S_n=\operatorname{tr}(A^n)$ , donner une expression de $S_n$ en fonction des $S_k$ précédents et des coefficients $a_k$ .
Montrer la conjecture de la première question.

Indication›

La relation entre les $S_n$ et les coefficients du polynôme caractéristique est l’identité de Newton.

Pour conclure, poser $\alpha_0=1$ et montrer par récurrence que $A_k=\sum_{i=0}^{k-1}\alpha_iA^{k-i}$ .

Corrigé›

1. Calcul expérimental

import numpy as np
import numpy.linalg as alg

A = np.array([
    [1, -4, 1, 1],
    [-1, 1, 0, 1],
    [0, 0, -2, 1],
    [0, 0, 1, -3],
])
I = np.eye(4)

def souriau(p):
    M, a = [0, A], [0, -np.trace(A)]
    for k in range(1, p):
        B = np.dot(A, M[k] + a[k] * I)
        M.append(B)
        a.append(-np.trace(M[k+1]) / (k+1))
    return M[p], a[p]

def alpha():
    M, a = [0, A], [0, -np.trace(A)]
    for k in range(1, 5):
        B = np.dot(A, M[k] + a[k] * I)
        M.append(B)
        a.append(-np.trace(M[k+1]) / (k+1))
    return a[1:]

Le polynôme caractéristique se calcule par blocs :

\chi_A(\lambda)= \begin{vmatrix}1-\lambda&-4\\-1&1-\lambda\end{vmatrix} \begin{vmatrix}-2-\lambda&1\\1&-3-\lambda\end{vmatrix}

d’où

\chi_A(\lambda)=(\lambda^2-2\lambda-3)(\lambda^2+5\lambda+5) =\lambda^4+3\lambda^3-8\lambda^2-25\lambda-15.

Le programme donne

\alpha_1=3,\quad\alpha_2=-8,\quad\alpha_3=-25,\quad\alpha_4=-15.

On conjecture donc

\boxed{\alpha_k=a_k}.

2. Développement en série entière

Par dérivation logarithmique du produit,

\frac{P'(X)}{P(X)}=\sum_{i=1}^{p}\frac1{X-\lambda_i}.

Pour $x$ non nul et assez petit pour que $|\lambda_i x|<1$ pour tout $i$ ,

\begin{aligned} \frac{P'(1/x)}{P(1/x)} &=\sum_{i=1}^{p}\frac1{1/x-\lambda_i}\\ &=\sum_{i=1}^{p}\frac{x}{1-\lambda_ix}\\ &=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sum_{i=1}^{p}\lambda_i^n\right)x^{n+1}. \end{aligned}

Or les valeurs propres de $A^n$ sont $\lambda_1^n,\ldots,\lambda_p^n$ avec multiplicités, donc

S_n=\operatorname{tr}(A^n)=\sum_{i=1}^{p}\lambda_i^n.

Ainsi

\boxed{\frac{P'(1/x)}{P(1/x)}=\sum_{n=0}^{+\infty}S_nx^{n+1}}.

3. Identités de Newton

En comparant les coefficients dans l’identité précédente, on obtient, pour $1\leq n\leq p$ ,

\boxed{S_n+a_1S_{n-1}+a_2S_{n-2}+\cdots+a_{n-1}S_1+n a_n=0}.

Autrement dit,

S_n=-\sum_{j=1}^{n-1}a_jS_{n-j}-na_n.

4. Preuve de la conjecture

Posons $\alpha_0=1$ . Montrons par récurrence que

A_k=\sum_{i=0}^{k-1}\alpha_iA^{k-i}.

Pour $k=1$ , c’est immédiat. Si la formule est vraie au rang $k$ , comme $\alpha_k=-\operatorname{tr}(A_k)/k$ ,

\begin{aligned} A_{k+1} &=A(A_k+\alpha_kI_p)\\ &=A\left(\sum_{i=0}^{k-1}\alpha_iA^{k-i}+\alpha_kI_p\right)\\ &=\sum_{i=0}^{k}\alpha_iA^{k+1-i}. \end{aligned}

En prenant les traces,

-k\alpha_k=\sum_{i=0}^{k-1}\alpha_iS_{k-i}.

Supposons maintenant $\alpha_i=a_i$ pour $i<k$ . L’identité précédente devient

-k\alpha_k=S_k+a_1S_{k-1}+\cdots+a_{k-1}S_1.

Or l’identité de Newton donne

S_k+a_1S_{k-1}+\cdots+a_{k-1}S_1=-ka_k.

Donc $\alpha_k=a_k$ . Par récurrence,

\boxed{\alpha_k=a_k\quad(1\leq k\leq p)}.

Exercice 12—Spectre d’une matrice stochastique strictement positive

Exercice tombé en 2020 · RMS 1060

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ . On suppose que tous les $a_{i,j}$ sont strictement positifs et que, pour tout $i\in\{1,\ldots,n\}$ ,

a_{i,1}+\cdots+a_{i,n}=1.

Montrer que 1 est valeur propre de $A$ .
Montrer que toute valeur propre complexe de $A$ a un module inférieur ou égal à 1.
Soit $\lambda$ une valeur propre complexe de module 1. Montrer que $\lambda=1$ .

Indication›

Pour une valeur propre $\lambda$ et un vecteur propre $X=(x_i)$ , choisir un indice $i_0$ tel que $|x_{i_0}|$ soit maximal. Dans le cas $|\lambda|=1$ , isoler le terme diagonal.

Corrigé›

1. La valeur propre 1

Avec

U=(1,1,\ldots,1)^T,

les sommes des lignes donnent immédiatement

AU=U.

Donc $1\in\operatorname{Sp}(A)$ .

2. Module des valeurs propres

Soit $\lambda\in\operatorname{Sp}_{\mathbb C}(A)$ et $X=(x_1,\ldots,x_n)^T\neq0$ tel que $AX=\lambda X$ . Choisissons $i_0$ tel que

|x_{i_0}|=\max_{1\leq i\leq n}|x_i|.

La ligne $i_0$ donne

\lambda x_{i_0}=\sum_{j=1}^{n}a_{i_0,j}x_j.

Comme les coefficients sont positifs,

|\lambda|\,|x_{i_0}| \leq\sum_{j=1}^{n}a_{i_0,j}|x_j| \leq |x_{i_0}|\sum_{j=1}^{n}a_{i_0,j} =|x_{i_0}|.

Or $x_{i_0}\neq0$ , donc

\boxed{|\lambda|\leq1}.

3. Cas d’égalité

Supposons $|\lambda|=1$ et écrivons $\lambda=e^{i\theta}$ . En isolant le terme diagonal dans la ligne $i_0$ ,

(e^{i\theta}-a_{i_0,i_0})x_{i_0} =\sum_{j\neq i_0}a_{i_0,j}x_j.

En prenant les modules puis en utilisant le choix de $i_0$ ,

|e^{i\theta}-a_{i_0,i_0}|\,|x_{i_0}| \leq |x_{i_0}|\sum_{j\neq i_0}a_{i_0,j} =|x_{i_0}|(1-a_{i_0,i_0}).

Après simplification par $|x_{i_0}|>0$ ,

|e^{i\theta}-a_{i_0,i_0}|\leq1-a_{i_0,i_0}.

En élevant au carré,

1+a_{i_0,i_0}^2-2a_{i_0,i_0}\cos\theta \leq1-2a_{i_0,i_0}+a_{i_0,i_0}^2.

Comme $a_{i_0,i_0}>0$ , on obtient $\cos\theta\geq1$ , donc $\cos\theta=1$ . Ainsi

\boxed{\lambda=1}.

Exercice 13—Sous-espaces stables d’un endomorphisme diagonalisable

Exercice tombé en 2020 · RMS 1062

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mathcal L(E)$ diagonalisable. On note $\alpha_1,\ldots,\alpha_p$ les valeurs propres distinctes de $f$ .

Montrer que tout sous-espace de $E$ possède un supplémentaire stable par $f$ .
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces stables par $f$ tels que $F\oplus G=E$ . Pour $1\leq k\leq p$ , on pose
$F(\alpha_k)=F\cap E_{\alpha_k}(f),\qquad G(\alpha_k)=G\cap E_{\alpha_k}(f).$
Montrer que
$F=\bigoplus_{k=1}^{p}F(\alpha_k),\qquad G=\bigoplus_{k=1}^{p}G(\alpha_k).$
En déduire que les endomorphismes induits par $f$ sur $F$ et $G$ sont diagonalisables.

Indication›

Pour la décomposition de $F$ , écrire $x=\sum x_k$ suivant les espaces propres, puis extraire chaque composante $x_j$ à l’aide du polynôme d’interpolation de Lagrange qui vaut 1 en $\alpha_j$ et 0 sur les autres valeurs propres.

Corrigé›

1. Supplémentaire stable

Soit $F_0$ un sous-espace de $E$ et $(f_1,\ldots,f_r)$ une base de $F_0$ . Comme $f$ est diagonalisable, il existe une base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$ constituée de vecteurs propres.

On complète $(f_1,\ldots,f_r)$ en une base de $E$ en choisissant des vecteurs parmi les $e_i$ . Leur sous-espace engendré fournit un supplémentaire de $F_0$ stable par $f$ .

2. Décomposition des sous-espaces stables

Comme $f$ est diagonalisable,

E=\bigoplus_{k=1}^{p}E_{\alpha_k}(f).

La somme $\sum_kF(\alpha_k)$ est donc directe, et son inclusion dans $F$ est claire. Montrons l’inclusion réciproque.

Soit $x\in F$ . Écrivons

x=\sum_{k=1}^{p}x_k,\qquad x_k\in E_{\alpha_k}(f).

Comme $F$ est stable par $f$ , on a $f^m(x)\in F$ pour tout $m\in\mathbb N$ .

Fixons $j$ et considérons le polynôme de Lagrange

L_j(X)=\prod_{i\neq j}\frac{X-\alpha_i}{\alpha_j-\alpha_i}.

Alors $L_j(\alpha_j)=1$ et $L_j(\alpha_k)=0$ pour $k\neq j$ . Si $L_j=\sum_{m=0}^{p-1}c_mX^m$ ,

\begin{aligned} L_j(f)(x) &=\sum_{m=0}^{p-1}c_mf^m(x)\\ &=\sum_{k=1}^{p}L_j(\alpha_k)x_k\\ &=x_j. \end{aligned}

Le premier membre appartient à $F$ , donc $x_j\in F$ . Comme aussi $x_j\in E_{\alpha_j}(f)$ , on a $x_j\in F(\alpha_j)$ .

Ainsi

\boxed{F=\bigoplus_{k=1}^{p}F(\alpha_k)}.

Le même raisonnement donne

\boxed{G=\bigoplus_{k=1}^{p}G(\alpha_k)}.

3. Restrictions diagonalisables

Pour chaque $k$ , choisissons une base de $F(\alpha_k)$ et concaténons ces bases. On obtient une base de $F$ constituée de vecteurs propres de la restriction de $f$ à $F$ . Celle-ci est donc diagonalisable. Même conclusion sur $G$ .

Réduction

Exercices 2020

Exercice 1—Matrices de trace nulle et commutateurs

Exercice 2—Similitude réelle à partir d’une similitude complexe

Exercice 3—Sous-espace engendré par les matrices nilpotentes

Exercice 4—Diagonalisation d’une matrice en étoile

Exercice 5—Valeurs propres d’une matrice de rang deux

Exercice 6—Supplémentaire stable d’un sous-espace

Exercice 7—L’endomorphisme M ↦ AM − MA

Exercice 8—Commutateur central et nilpotence

Exercice 9—Vecteur cyclique et espaces propres de dimension 1

Exercice 10—Matrice compagnon et puissances des racines

Exercice 11—Algorithme de Souriau-Faddeev

Exercice 12—Spectre d’une matrice stochastique strictement positive

Exercice 13—Sous-espaces stables d’un endomorphisme diagonalisable