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Exercice 1—Infimum d’une intégrale de module quadratique

Exercice tombé en 2020 · RMS 1081

DifficultéÀ définir

Énoncé

Calculer

\inf_{(a,b)\in\mathbb C^2}\int_{-1}^{1}|t^2+at+b|\,dt.

Indication›

Le corrigé source commence par réduire le problème aux couples réels, puis exploite la symétrie pour se ramener à $a\geq0$ . Il étudie ensuite le signe du trinôme sur $[-1,1]$ .

Corrigé›

Pour

I(a,b)=\int_{-1}^{1}|t^2+at+b|\,dt,

le changement de variable $t=-u$ donne $I(a,b)=I(-a,b)$ .

Écrivons $a=a_1+ia_2$ et $b=b_1+ib_2$ . Pour tout réel $t$ ,

|t^2+at+b|\geq |t^2+a_1t+b_1|.

Ainsi l’infimum sur $\mathbb C^2$ est égal à l’infimum obtenu en se limitant à $a\in\mathbb R_+$ et $b\in\mathbb R$ .

Le corrigé commence alors l’étude du trinôme $t^2+at+b$ à l’aide de son discriminant. Lorsque $\Delta\leq0$ , le trinôme est positif et

I(a,b)=\int_{-1}^{1}(t^2+at+b)dt=\frac23+2b\geq\frac23.

Corrigé source inachevé

Le document fourni s’arrête au début du cas $\Delta>0$ avec plusieurs mentions « à finir ». Je n’ai pas inventé la fin ni la valeur de l’infimum.

Exercice 2—Intégrale impropre avec partie entière

Exercice tombé en 2020 · RMS 1082

DifficultéÀ définir

Énoncé

Calculer

\int_0^1\frac{(-1)^{\lfloor1/t\rfloor}}{t}\,dt.

Indication›

Découper $]0,1]$ en intervalles $]1/(k+1),1/k]$ , puis regrouper les termes deux par deux et utiliser Stirling.

Corrigé›

Sur $]1/(k+1),1/k]$ , on a $\lfloor1/t\rfloor=k$ . Si

F(x)=\int_x^1\frac{(-1)^{\lfloor1/t\rfloor}}{t}\,dt,

alors

F\!\left(\frac1{n+1}\right)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\ln\left(\frac{k+1}{k}\right).

Le terme général est $(-1)^k/k+O(k^{-2})$ , donc la série converge. Pour les sommes d’indice pair,

S_{2n}=\ln\prod_{k=1}^{n}\frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)^2}.

Posons

x_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)^2}=\left(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\right)^2(2n+1).

Par la formule de Stirling,

\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\sim\frac1{\sqrt{\pi n}},\qquad x_n\longrightarrow\frac2\pi.

Donc

S_{2n}\longrightarrow\ln\frac2\pi.

Le corrigé contrôle ensuite l’écart entre $F(x)$ et la valeur de $F$ à l’extrémité de l’intervalle contenant $x$ , par une quantité au plus $\ln(1+1/k)\leq1/k$ . On obtient finalement

\boxed{\int_0^1\frac{(-1)^{\lfloor1/t\rfloor}}{t}\,dt=\ln\frac2\pi}.

Exercice 3—Intégrale d’une fonction périodique divisée par t

Exercice tombé en 2020 · RMS 1083

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $a>0$ , $\alpha>0$ et $f\in\mathcal C^0(\mathbb R,\mathbb R)$ une fonction $\alpha$ -périodique. Pour $\lambda\in\mathbb R$ , on pose

I_\lambda=\int_a^{\infty}\frac{\lambda-f(t)}{t}\,dt,\qquad G_\lambda(x)=\int_a^x(\lambda-f(t))\,dt.

Montrer que $I_\lambda$ converge pour au plus une valeur de $\lambda$ .
Montrer que si $G_\lambda$ est bornée, alors $I_\lambda$ converge.
Montrer qu’il existe exactement une telle valeur et la préciser.
Donner un équivalent de $\int_1^x\cos^2(t)\,dt/t$ lorsque $x\to+\infty$ .

Indication›

Pour l’unicité, soustraire deux intégrales. Pour l’existence, choisir $\lambda$ égal à la moyenne de $f$ sur une période et montrer que $G_\lambda$ est bornée.

Corrigé›

Si $I_{\lambda_1}$ et $I_{\lambda_2}$ convergent, leur différence est

(\lambda_1-\lambda_2)\int_a^{\infty}\frac{dt}{t},

ce qui impose $\lambda_1=\lambda_2$ .

Si $G_\lambda$ est bornée, une intégration par parties donne, pour $T>a$ ,

\int_a^T\frac{\lambda-f(t)}{t}dt=\frac{G_\lambda(T)}{T}-\frac{G_\lambda(a)}a+\int_a^T\frac{G_\lambda(t)}{t^2}dt.

Les deux termes de droite ont une limite lorsque $T\to+\infty$ . Donc $I_\lambda$ converge.

Posons

A=\int_a^{a+\alpha}f(t)dt.

Grâce à la périodicité, l’intégrale de $f$ entre $a$ et $x$ est égale à un nombre entier de périodes, soit $\lfloor(x-a)/\alpha\rfloor A$ , plus un reste borné. Ainsi $G_\lambda$ est bornée précisément pour

\boxed{\lambda=\frac1\alpha\int_a^{a+\alpha}f(t)dt}.

Pour $f(t)=\cos^2t$ , de période $\pi$ , sa moyenne vaut $1/2$ . Ainsi

\int_1^{\infty}\frac{1/2-\cos^2t}{t}dt

converge. Par conséquent,

\boxed{\int_1^x\frac{\cos^2t}{t}dt\sim\frac12\ln x}.

Exercice 4—Développement asymptotique d’une intégrale paramétrée

Exercice tombé en 2020 · RMS 1095

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $n\geq1$ , on pose

u_n=\int_0^{\infty}\frac{e^{-t}}{n+t}\,dt.

Justifier la définition de $u_n$ .
Donner un équivalent de $u_n$ .
Déterminer $(a,b,c)$ tel que $u_n=a/n+b/n^2+c/n^3+o(n^{-3})$ .

Indication›

Pour l’équivalent, appliquer le théorème de convergence dominée à $nu_n$ . Pour le développement, effectuer deux intégrations par parties.

Corrigé›

L’intégrande est positive et majorée par $e^{-t}/n$ , donc l’intégrale converge. Ensuite

nu_n=\int_0^{\infty}\frac{ne^{-t}}{n+t}dt\longrightarrow\int_0^{\infty}e^{-t}dt=1

par convergence dominée. Donc

u_n\sim\frac1n.

Une première intégration par parties donne

u_n=\frac1n-\int_0^{\infty}\frac{e^{-t}}{(n+t)^2}dt.

Une seconde donne

u_n=\frac1n-\frac1{n^2}+2\int_0^{\infty}\frac{e^{-t}}{(n+t)^3}dt.

Enfin, par convergence dominée,

n^3\int_0^{\infty}\frac{e^{-t}}{(n+t)^3}dt\longrightarrow1.

Donc

\boxed{u_n=\frac1n-\frac1{n^2}+\frac2{n^3}+o(n^{-3})}.

Exercice 5—Somme harmonique partielle, intégrale et équivalent du reste

Exercice tombé en 2020 · RMS 1096

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $n\geq1$ , on pose

S_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k,\qquad I_n=\int_0^1\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}\,dt,\qquad J=\int_0^1\frac{u-1}{\ln u}\,du.

Justifier la définition de $I_n$ et de $J$ .
Montrer que $I_n=S_n$ .
Représenter numériquement $S_n$ .
Montrer que $S_n$ est monotone et déterminer sa limite.
Montrer que cette limite vaut $J$ .
Conjecturer puis démontrer un équivalent de $\ln2-S_n$ .

Indication›

Utiliser l’identité $(t^n-t^{2n})/(1-t)=\sum_{k=0}^{n-1}t^{n+k}$ . Pour le dernier équivalent, comparer la somme de Riemann à l’intégrale de $F'(t)=1/(1+t)$ avec un développement de Taylor.

Corrigé›

Comme

\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}=\sum_{k=0}^{n-1}t^{n+k},

l’intégrande se prolonge continûment en $1$ et

I_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{n+k+1}=S_n.

On calcule

S_{n+1}-S_n=\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}>0.

D’autre part,

S_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac1{1+k/n}\longrightarrow\int_0^1\frac{dt}{1+t}=\ln2.

Avec le changement de variable $t=u^{1/n}$ dans $I_n$ , le corrigé obtient un intégrande qui converge vers $(u-1)/\ln u$ et qui est dominé par $1$ . Le théorème de convergence dominée donne

\boxed{J=\ln2}.

Enfin, une étude plus fine de l’erreur de la somme de Riemann, avec un développement de Taylor de $F(t)=\ln(1+t)$ , conduit à

\boxed{\ln2-S_n\sim\frac1{4n}}.

Exercice 6—Intégrale oscillante complexe

Exercice tombé en 2020 · RMS 1097

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $n\geq3$ et

f_n(x)=xe^{ix^n}.

Prouver l’existence de $I_n=\int_0^{\infty}f_n(x)dx$ .
Déterminer un équivalent de $I_n$ .

Indication›

Pour la convergence à l’infini, faire le changement de variable $t=x^n$ puis une intégration par parties. Le document source n’achève pas la question 2.

Corrigé›

Sur tout segment, l’intégrande est continue. Pour la queue de l’intégrale, avec $t=x^n$ ,

\int_1^X xe^{ix^n}dx=\frac1n\int_1^{X^n}t^{2/n-1}e^{it}dt.

Une intégration par parties donne

\frac1n\left[t^{2/n-1}(-ie^{it})\right]_1^{X^n}+\frac{i}{n}\left(\frac2n-1\right)\int_1^{X^n}\frac{e^{it}}{t^{2-2/n}}dt.

Comme $2/n-1<0$ et $2-2/n>1$ pour $n\geq3$ , le terme de bord converge et la dernière intégrale est absolument convergente. Ainsi $I_n$ existe.

Corrigé source inachevé

Le PDF transmis laisse explicitement la question de l’équivalent sous la forme « ???? à finir ???? ». Je n’ai pas complété ce résultat sans source.

Exercice 7—Deux suites d’intégrales et une identité de série

Exercice tombé en 2020 · RMS 1099

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $n\geq1$ , on pose

u_n=\int_0^1\frac{dt}{1+2t+3t^2+\cdots+nt^{n-1}}

et

a_n=\int_0^{\infty}t^2(1+t)^ne^{-(n+1)t}\,dt.

Justifier $u_n$ et calculer $u_2,u_3$ .
Justifier $a_n$ , calculer sa limite, programmer $u_n$ et conjecturer puis démontrer la limite de $3u_n$ .
Montrer que $I=\int_0^{\infty}\frac{t^2}{e^t-1-t}dt$ est bien définie puis que $I=\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ .
Étudier numériquement $n^3(3u_n-1)/I$ .

Indication›

Pour $u_n$ , dériver la somme géométrique $1+t+\cdots+t^n$ . Pour l’identité avec $I$ , développer $1/(1-(1+t)e^{-t})$ en série géométrique.

Corrigé›

On calcule directement

u_2=\frac{\ln3}{2},\qquad u_3=\frac1{\sqrt2}\arctan\!\left(\frac1{\sqrt2}\right).

Pour $a_n$ , l’inégalité $1+t\leq e^t$ donne

0\leq t^2(1+t)^ne^{-(n+1)t}\leq t^2e^{-t}.

Le facteur $((1+t)e^{-t})^n$ tend vers zéro pour $t>0$ . Par convergence dominée,

\boxed{a_n\to0}.

import scipy.integrate as integr

def f(n, t):
    s = 1
    for k in range(1, n):
        s += (k+1)*t**k
    return 1/s

def u(n):
    return integr.quad(lambda t: f(n, t), 0, 1)[0]

Si $P_n(t)=\sum_{k=0}^{n}t^k$ , alors

P_n'(t)=\frac{nt^{n+1}-(n+1)t^n+1}{(t-1)^2}.

Pour $0\leq t<1$ , l’intégrande de $u_n$ converge donc vers $(1-t)^2$ et reste majoré par $1$ . Le théorème de convergence dominée donne

\boxed{u_n\to\int_0^1(1-t)^2dt=\frac13},

donc $3u_n\to1$ .

Pour $t>0$ , on a $0<(1+t)e^{-t}<1$ et

\frac{t^2}{e^t-1-t}=\frac{t^2e^{-t}}{1-(1+t)e^{-t}}.

Le développement géométrique, puis un passage à la limite dominé comme dans le corrigé, donne

\boxed{I=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^{\infty}t^2(1+t)^ne^{-(n+1)t}dt=\sum_{n=0}^{\infty}a_n}.

Dernière question non résolue dans la source

Le corrigé fourni indique que l’expérience numérique sur $n^3(3u_n-1)/I$ est « bizarre » et n’aboutit pas à une conjecture démontrée. Je conserve cette limite de la source au lieu d’inventer une conclusion.

Exercice 8—Intégrale logarithmique et relation fonctionnelle

Exercice tombé en 2020 · RMS 1100

DifficultéÀ définir

Énoncé

On définit

f(x)=\int_0^{\pi}\ln(1-2x\cos t+x^2)\,dt.

Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb R$ et paire.
Montrer que $f(x^2)=2f(x)$ .
Exprimer $f(x)$ pour tout réel $x$ .

Indication›

Pour la parité, utiliser $t\mapsto\pi-t$ . Pour la relation fonctionnelle, factoriser $1-2x^2\cos t+x^4$ après avoir écrit $1+\cos t=2\cos^2(t/2)$ .

Corrigé›

On écrit

1-2x\cos t+x^2=(x-\cos t)^2+\sin^2t.

Pour $x\neq\pm1$ , l’intégrande est continue sur $[0,\pi]$ . Pour $x=\pm1$ , la singularité logarithmique aux extrémités est intégrable. Ainsi $f$ est définie sur tout $\mathbb R$ .

Le changement de variable $t=\pi-u$ donne $f(-x)=f(x)$ .

Ensuite,

1-2x^2\cos t+x^4=(x^2-2x\cos(t/2)+1)(x^2+2x\cos(t/2)+1).

En prenant le logarithme, puis avec $t=2\theta$ et une symétrie dans la seconde intégrale, on obtient

\boxed{f(x^2)=2f(x)}.

Pour $x>0$ ,

f(1/x)=f(x)-2\pi\ln x.

Le corrigé montre que $f$ est continue sur $]-1,1[$ . Si $|x|<1$ , la relation fonctionnelle itérée donne

f(x)=2^{-n}f(x^{2^n})\longrightarrow0,

car $x^{2^n}\to0$ et $f(0)=0$ . Donc $f(x)=0$ pour $|x|<1$ .

Pour $x>1$ , on applique la relation à $1/x$ et on obtient

f(x)=2\pi\ln x.

Enfin $f(1)=0$ , en utilisant $\int_0^{\pi/2}\ln(\sin\theta)d\theta=-(\pi/2)\ln2$ . Par parité,

\boxed{f(x)=\begin{cases}0,&|x|\leq1,\\2\pi\ln|x|,&|x|>1.\end{cases}}

Exercice 9—Intégrale de Frullani oscillante

Exercice tombé en 2020 · RMS 1101

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $0<a<b$ et

f(x)=\int_0^{\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}\cos(xt)\,dt.

Déterminer le domaine de définition de $f$ .
Montrer que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ .
Expliciter $f$ sans intégrale.

Indication›

Dériver sous le signe intégral puis calculer $\int_0^{\infty}e^{-at}\sin(xt)dt$ à l’aide d’une exponentielle complexe.

Corrigé›

Au voisinage de zéro, $(e^{-at}-e^{-bt})/t$ a une limite finie; à l’infini, la décroissance exponentielle assure l’intégrabilité. Ainsi $D_f=\mathbb R$ .

La dérivée partielle par rapport à $x$ est

-(e^{-at}-e^{-bt})\sin(xt),

dominée par une fonction intégrable indépendante de $x$ sur tout compact. Donc

f'(x)=-\int_0^{\infty}(e^{-at}-e^{-bt})\sin(xt)dt.

Or

\int_0^{\infty}e^{-at}\sin(xt)dt=\frac{x}{x^2+a^2}.

Par conséquent,

f'(x)=\frac{x}{x^2+b^2}-\frac{x}{x^2+a^2}.

Une primitive est

f(x)=\frac12\ln\left(\frac{x^2+b^2}{x^2+a^2}\right)+C.

Enfin, le corrigé calcule l’intégrale de Frullani

f(0)=\int_0^{\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}dt=\ln\frac ba.

L’expression précédente vaut déjà $\ln(b/a)$ en zéro, donc $C=0$ .

\boxed{f(x)=\frac12\ln\left(\frac{x^2+b^2}{x^2+a^2}\right)}.

Exercice 10—Calcul de l’intégrale de Gauss par paramétrage

Exercice tombé en 2020 · RMS 1102

DifficultéÀ définir

Énoncé

On pose

F(x,t)=\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}

et

g(x)=\int_0^{\infty}F(x,t)\,dt.

Montrer que $g$ est définie et continue sur $\mathbb R_+$ .
Étudier sa dérivabilité sur $\mathbb R_+^*$ .
Déterminer sa limite en $+\infty$ .
En déduire $I=\int_0^{\infty}e^{-t^2}dt$ .

Indication›

Dériver sous le signe intégral, puis effectuer le changement de variable $u=xt$ dans la dérivée de $g$ .

Corrigé›

Pour $x\geq0$ ,

0\leq F(x,t)\leq\frac1{1+t^2},

et ce majorant est intégrable sur $\mathbb R_+$ . On obtient la définition et la continuité de $g$ par domination.

Pour $x>0$ ,

\frac{\partial F}{\partial x}(x,t)=-2xe^{-x^2(1+t^2)}.

Une domination locale permet de dériver sous l’intégrale :

g'(x)=-2x\int_0^{\infty}e^{-x^2(1+t^2)}dt=-2e^{-x^2}\int_0^{\infty}e^{-u^2}du.

En notant

I=\int_0^{\infty}e^{-u^2}du,

on a donc

g'(x)=-2Ie^{-x^2}.

Comme $g(0)=\pi/2$ ,

g(x)=\frac\pi2-2I\int_0^xe^{-t^2}dt.

Enfin,

0\leq g(x)\leq\frac\pi2e^{-x^2}\longrightarrow0.

En faisant tendre $x$ vers $+\infty$ ,

0=\frac\pi2-2I^2.

Donc

\boxed{\int_0^{\infty}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt\pi}{2}}.

Exercice 11—Intégrales paramétrées avec puissance t^α

Exercice tombé en 2020 · RMS 1103

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $\alpha\in\mathbb R$ et $x\in\mathbb R$ , on pose

f_\alpha(x)=\int_0^{\infty}\frac{t^\alpha e^{-tx^2}}{1+t^2}\,dt.

Déterminer les $\alpha$ pour lesquels $f_\alpha$ est définie sur tout $\mathbb R$ .
Tracer numériquement quelques graphes.
Étudier la continuité et le caractère $\mathcal C^1$ .
Montrer que $f_\alpha(0)=f_{-\alpha}(0)$ .
En déduire que $f_\alpha(0)>\pi/2$ lorsque $\alpha\neq0$ .

Indication›

Étudier séparément l’intégrabilité en $0$ et en $+\infty$ . Pour la symétrie en $\alpha$ , utiliser $t=1/u$ .

Corrigé›

En $0$ , l’intégrande se comporte comme $t^\alpha$ , ce qui impose $\alpha>-1$ . Pour que $f_\alpha(0)$ converge à l’infini, il faut $t^{\alpha-2}$ intégrable, donc $\alpha<1$ .

\boxed{\alpha\in]-1,1[}.

import scipy.integrate as integr

def f(alpha, x):
    g = lambda t: t**alpha*np.exp(-t*x**2)/(1+t**2)
    return integr.quad(g, 0, np.inf)[0]

Pour $\alpha\in]-1,1[$ ,

\left|\frac{t^\alpha e^{-tx^2}}{1+t^2}\right|\leq\frac{t^\alpha}{1+t^2},

ce qui donne la continuité sur $\mathbb R$ . Sur tout segment $[a,b]\subset\mathbb R_+^*$ , la dérivée partielle

-2x\frac{t^{\alpha+1}e^{-tx^2}}{1+t^2}

admet un majorant intégrable, donc $f_\alpha$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+^*$ ; elle est paire.

À $x=0$ , le changement de variable $t=1/u$ donne

\boxed{f_\alpha(0)=f_{-\alpha}(0)}.

Pour $t>0$ , $t^\alpha+t^{-\alpha}\geq2$ , avec inégalité stricte presque partout si $\alpha\neq0$ . Ainsi

2f_\alpha(0)=\int_0^{\infty}\frac{t^\alpha+t^{-\alpha}}{1+t^2}dt>\int_0^{\infty}\frac2{1+t^2}dt=\pi.

\boxed{f_\alpha(0)>\frac\pi2\quad(\alpha\neq0)}.

Exercice 12—Transformée oscillante d’un noyau rationnel

Exercice tombé en 2020 · RMS 1104

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $x>0$ , on pose

f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x e^{it}}{x^2+t^2}\,dt.

Montrer que $f$ est bien définie et que $f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{iux}/(1+u^2)\,du$ .
Montrer que $f$ est bornée et de classe $\mathcal C^2$ sur $]0,+\infty[$ .
Montrer que $f''(x)=f(x)$ .
En déduire une expression simple de $f(x)$ .

Indication›

Utiliser le changement de variable $t=xu$ . Pour l’équation différentielle, comparer les dérivées secondes du noyau par rapport à $t$ et à $x$ , puis intégrer deux fois par parties.

Corrigé›

L’intégrande est absolument intégrable puisque

\left|\frac{xe^{it}}{x^2+t^2}\right|=\frac{x}{x^2+t^2}.

Le changement de variable $t=xu$ donne

f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iux}}{1+u^2}du,

d’où $|f(x)|\leq\pi$ .

Le corrigé justifie la dérivation deux fois sous le signe intégral à partir de la forme initiale et de dominations locales. On vérifie ensuite

\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(\frac{x}{x^2+t^2}\right)=-\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{x}{x^2+t^2}\right).

Après deux intégrations par parties en $t$ , les termes de bord s’annulent et l’on obtient

\boxed{f''(x)=f(x)}.

Les solutions de $y''=y$ sont $\lambda e^x+\mu e^{-x}$ . Comme $f$ est bornée sur $\mathbb R_+^*$ , $\lambda=0$ . Enfin, par convergence dominée dans la représentation après changement de variable,

\lim_{x\to0^+}f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{du}{1+u^2}=\pi.

Donc $\mu=\pi$ et

\boxed{f(x)=\pi e^{-x}\quad(x>0)}.

Exercice 13—Transformée de Fourier de la gaussienne

Exercice tombé en 2020 · RMS 1105

DifficultéÀ définir

Énoncé

On pose

f(x)=\int_0^{\infty}\cos(xt)e^{-t^2}\,dt.

Déterminer le domaine de définition de $f$ et montrer que $f\in\mathcal C^2$ .
Trouver une équation différentielle d’ordre 1 vérifiée par $f$ .
Calculer $f(0)$ .
En déduire $f(x)$ pour tout réel $x$ .

Indication›

Dériver sous le signe intégral puis intégrer par parties en utilisant $(e^{-t^2})'=-2te^{-t^2}$ .

Corrigé›

Pour tout réel $x$ , l’intégrande est continue et dominée par $e^{-t^2}$ , donc $f$ est définie sur $\mathbb R$ .

Les dérivées partielles

-t\sin(xt)e^{-t^2},\qquad -t^2\cos(xt)e^{-t^2}

sont dominées par des fonctions intégrables. On peut donc dériver deux fois sous l’intégrale.

On a

f'(x)=-\int_0^{\infty}t\sin(xt)e^{-t^2}dt.

Comme $2te^{-t^2}=-(e^{-t^2})'$ , une intégration par parties donne

2f'(x)=-x\int_0^{\infty}\cos(xt)e^{-t^2}dt=-xf(x).

Donc

f'(x)+\frac x2f(x)=0.

D’après l’exercice précédent sur l’intégrale de Gauss,

f(0)=\int_0^{\infty}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt\pi}{2}.

La résolution de l’équation différentielle donne alors

\boxed{f(x)=\frac{\sqrt\pi}{2}e^{-x^2/4}}.

Exercice 14—Intégrale de Dirichlet et fonction paramétrée

Exercice tombé en 2020 · RMS 1106

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $\alpha>1$ .

Justifier la convergence de $\int_1^{\infty}\sin t/t^\alpha\,dt$ .
Montrer la convergence de $\int_0^{\infty}\sin t/t\,dt$ . On admet que sa valeur est $\pi/2$ .

On pose ensuite

\varphi(x)=\int_0^{\infty}\frac{\sin(tx)}{t(1+t^2)}\,dt.

Montrer que $\varphi$ est définie sur $\mathbb R$ et de classe $\mathcal C^1$ .
On admet la dérivation seconde sur $\mathbb R^*$ . Donner une écriture simple de $\varphi''(x)-\varphi(x)$ .
En déduire $\varphi,\varphi',\varphi''$ .

Indication›

Pour $x>0$ , faire le changement de variable $u=tx$ dans l’intégrale de Dirichlet obtenue après soustraction.

Corrigé›

La première intégrale converge absolument car

\left|\frac{\sin t}{t^\alpha}\right|\leq\frac1{t^\alpha}

avec $\alpha>1$ . La seconde est l’intégrale classique de Dirichlet, semi-convergente.

Pour $\varphi$ , l’intégrande est prolongeable par continuité en $t=0$ et est majoré à l’infini par $1/(1+t^2)$ . De plus

\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\sin(tx)}{t(1+t^2)}\right)=\frac{\cos(tx)}{1+t^2},

dominé par une fonction intégrable. Donc

\varphi'(x)=\int_0^{\infty}\frac{\cos(tx)}{1+t^2}dt.

Pour $x\neq0$ , la dérivée seconde admise donne

\varphi''(x)-\varphi(x)=-\int_0^{\infty}\frac{\sin(tx)}{t}dt.

Si $x>0$ , le changement de variable $u=tx$ donne $\pi/2$ . Par imparité de l’intégrale,

\varphi''(x)-\varphi(x)=-\frac\pi2\operatorname{sgn}(x).

Sur $]0,+\infty[$ , on résout $y''-y=-\pi/2$ . Comme $\varphi(0)=0$ et

\varphi'(0)=\int_0^{\infty}\frac{dt}{1+t^2}=\frac\pi2,

on obtient

\varphi(x)=\frac\pi2(1-e^{-x})\qquad(x\geq0).

Par imparité,

\boxed{\varphi(x)=\frac\pi2\operatorname{sgn}(x)(1-e^{-|x|})}.

Enfin

\boxed{\varphi'(x)=\frac\pi2e^{-|x|}},

et, pour $x\neq0$ ,

\boxed{\varphi''(x)=-\operatorname{sgn}(x)\frac\pi2e^{-|x|}}.

Exercice 15—Intégrales logarithmiques et Sophomore’s dream

Exercice tombé en 2020 · RMS 1107

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $(p,n)\in\mathbb N^2$ avec $p\leq n$ , calculer
$I_{n,p}=\int_0^1x^n(\ln x)^p\,dx.$
Montrer la convergence de $I=\int_0^1x^{-x}dx$ .
Montrer que $I=\sum_{n=1}^{\infty}1/n^n$ .
Montrer que $1+1/4+1/27+1/256$ approche $I$ à $10^{-3}$ près.

Indication›

Pour la première question, faire une intégration par parties ou le changement de variable $x=e^{-t}$ . Pour la troisième, développer $x^{-x}=e^{-x\ln x}$ et justifier l’intégration terme à terme.

Corrigé›

Une intégration par parties donne la récurrence

I_{n,p}=-\frac{p}{n+1}I_{n,p-1}.

Comme $I_{n,0}=1/(n+1)$ ,

\boxed{I_{n,p}=(-1)^p\frac{p!}{(n+1)^{p+1}}}.

L’intégrale de $x^{-x}$ sur $]0,1]$ converge car $x^{-x}=e^{-x\ln x}\to1$ en zéro.

Pour $0<x\leq1$ ,

x^{-x}=e^{-x\ln x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x\ln x)^n}{n!}.

Or

\int_0^1\left|\frac{(-x\ln x)^n}{n!}\right|dx=\frac1{(n+1)^{n+1}},

et la série de ces intégrales converge. On peut donc intégrer terme à terme :

I=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{(n+1)^{n+1}}=\boxed{\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^n}}.

Pour le reste après quatre termes,

0\leq I-\sum_{n=1}^{4}\frac1{n^n}\leq\sum_{n=5}^{\infty}\frac1{5^n}.

Le corrigé majore encore cette queue par une intégrale :

\sum_{n=5}^{\infty}\frac1{5^n}\leq\int_4^{\infty}5^{-x}dx=\frac1{5^4\ln5}<10^{-3}.

Exercice 16—Sommation par noyau exponentiel

Exercice tombé en 2020 · RMS 1110

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $(a_n)$ telle que $\sum|a_n|<\infty$ . Montrer que
$\int_0^{\infty}e^{-t}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}t^n\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}a_n.$
Si $\sum a_n$ converge seulement, l’égalité reste-t-elle vraie ?

Indication›

Dans le cas absolument convergent, intégrer terme à terme. Dans le cas général, introduire les sommes partielles $A_n=\sum_{k=0}^{n}a_k$ et effectuer une transformation d’Abel sur la série exponentielle.

Corrigé›

Si $\sum|a_n|<\infty$ , alors

\int_0^{\infty}e^{-t}\left|\frac{a_n}{n!}t^n\right|dt=|a_n|

et la somme des intégrales est finie. L’intégration terme à terme donne donc directement

\int_0^{\infty}e^{-t}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}t^n\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}a_n.

Supposons maintenant que $\sum a_n$ converge vers $A$ et posons

A_n=\sum_{k=0}^{n}a_k,\qquad A_{-1}=0.

Comme $a_n=A_n-A_{n-1}$ , le corrigé transforme

B(x)=\int_0^xe^{-t}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}t^n\,dt

en

B(x)=e^{-x}\sum_{n=0}^{\infty}A_n\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}.

On reconnaît une moyenne de type Poisson des $A_n$ . Puisque $A_n\to A$ , un argument de type Cesàro donne

B(x)\longrightarrow A\qquad(x\to+\infty).

Donc l’égalité reste vraie :

\boxed{\int_0^{\infty}e^{-t}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}t^n\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}a_n}

même sous la seule hypothèse de convergence de la série.

Exercice 17—Fonction Gamma et intégrale de type Beta

Exercice tombé en 2020 · RMS 1111

DifficultéÀ définir

Énoncé

Donner le domaine réel de définition de
$\Gamma(x)=\int_0^{\infty}e^{-t}t^{x-1}\,dt.$
Pour $x$ fixé, donner la limite lorsque $n\to+\infty$ de
$n^x\int_0^1(1-u)^nu^{x-1}\,du.$

Indication›

Le document source ne fournit pas de correction. Pour la première question, l’étude naturelle porte sur l’intégrabilité en zéro et à l’infini.

Corrigé›

Corrigé source non fourni

L’exercice 1111 est présent dans le PDF, mais la ligne « SOLUTION - » est vide. Je conserve donc l’énoncé sans fabriquer de solution à partir d’une autre source.

Exercice 18—Intégrales logarithmiques et Sophomore’s dream — reprise

Exercice tombé en 2020 · RMS 1112

DifficultéÀ définir

Énoncé

Le document indique explicitement que cet exercice est identique au RMS 1107.

Calculer $I_{n,p}=\int_0^1x^n(\ln x)^pdx$ .
Montrer la convergence de $I=\int_0^1x^{-x}dx$ .
Montrer que $I=\sum_{n=1}^{\infty}1/n^n$ .
Donner l’approximation à $10^{-3}$ près avec les quatre premiers termes.

Indication›

Même indication que pour le RMS 1107 : calcul de $I_{n,p}$ puis développement de $e^{-x\ln x}$ .

Corrigé›

Le PDF indique « RMS 2020 1112 Centrale PC = idem 1107 ». On reprend donc exactement le même corrigé.

I_{n,p}=(-1)^p\frac{p!}{(n+1)^{p+1}}.

En développant $x^{-x}=e^{-x\ln x}$ et en intégrant terme à terme,

\boxed{\int_0^1x^{-x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^n}}.

Enfin,

0\leq I-\left(1+\frac14+\frac1{27}+\frac1{256}\right)<10^{-3}.

Intégration

Exercices 2020

Exercice 1—Infimum d’une intégrale de module quadratique

Exercice 2—Intégrale impropre avec partie entière

Exercice 3—Intégrale d’une fonction périodique divisée par t

Exercice 4—Développement asymptotique d’une intégrale paramétrée

Exercice 5—Somme harmonique partielle, intégrale et équivalent du reste

Exercice 6—Intégrale oscillante complexe

Exercice 7—Deux suites d’intégrales et une identité de série

Exercice 8—Intégrale logarithmique et relation fonctionnelle

Exercice 9—Intégrale de Frullani oscillante

Exercice 10—Calcul de l’intégrale de Gauss par paramétrage

Exercice 11—Intégrales paramétrées avec puissance t^α

Exercice 12—Transformée oscillante d’un noyau rationnel

Exercice 13—Transformée de Fourier de la gaussienne

Exercice 14—Intégrale de Dirichlet et fonction paramétrée

Exercice 15—Intégrales logarithmiques et Sophomore’s dream

Exercice 16—Sommation par noyau exponentiel

Exercice 17—Fonction Gamma et intégrale de type Beta

Exercice 18—Intégrales logarithmiques et Sophomore’s dream — reprise