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Exercice 1—Produit scalaire sur les polynômes et projection

Exercice tombé en 2020 · RMS 1063 · Python

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $P=\sum_k p_kX^k$ et $Q=\sum_k q_kX^k$ dans $\mathbb R[X]$ , on pose

\langle P,Q\rangle=\sum_k p_kq_k.

Montrer que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est l’unique produit scalaire sur $\mathbb R[X]$ rendant la base canonique orthonormée.
On pose $F_n=\{P\in\mathbb R_n[X]\,;\,P(1)=0\}$ . Montrer qu’il existe un unique $P_n\in F_n$ tel que $d(1,F_n)=\|1-P_n\|$ .
Écrire une fonction Python qui renvoie $\langle P,Q\rangle$ .
On pose
$\pi_n(X)=\frac1{\sqrt{n(n+1)}}\left(nX^n-\sum_{k=0}^{n-1}X^k\right).$
Afficher à l’aide de Python la matrice $(\langle\pi_i,\pi_j\rangle)_{1\leq i,j\leq n}$ pour différentes valeurs de $n$ . Conjecture ?
Montrer la conjecture.
En déduire une expression simple de $P_n$ et la vérifier.

Indication›

Montrer que $(\pi_1,\ldots,\pi_n)$ est une base orthonormée de $F_n$ , puis utiliser la formule du projeté orthogonal de $1$ sur $F_n$ .

Corrigé›

1. Le produit scalaire

La formule

\langle P,Q\rangle=\sum_kp_kq_k

est bilinéaire, symétrique et définie positive. De plus, pour la base canonique $(1,X,X^2,\ldots)$ ,

\langle X^i,X^j\rangle=\delta_{i,j}.

Réciproquement, si un produit scalaire rend cette base orthonormée, la bilinéarité impose nécessairement

\left\langle\sum_ip_iX^i,\sum_jq_jX^j\right\rangle=\sum_ip_iq_i.

D’où l’unicité.

2. Existence du projeté

$F_n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R_n[X]$ , donc il est de dimension finie. Le théorème de projection orthogonale assure l’existence et l’unicité du projeté orthogonal de $1$ sur $F_n$ . Ce projeté est précisément l’unique $P_n$ tel que

d(1,F_n)=\|1-P_n\|.

3. Python

from numpy.polynomial import Polynomial

def ps(P, Q):
    res = 0
    p, q = P.degree(), Q.degree()
    for k in range(min(p, q) + 1):
        res += P.coef[k] * Q.coef[k]
    return res

4. Expérimentation

import numpy as np
from numpy.polynomial import Polynomial

def Polpi(n):
    c = [-1] * (n + 1)
    c[n] = n
    return Polynomial(c) / np.sqrt(n * (n + 1))

def gram(n):
    G = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            G[i, j] = ps(Polpi(i + 1), Polpi(j + 1))
    return G

print(gram(4))

On obtient la matrice identité. On conjecture que la famille $(\pi_i)_{1\leq i\leq n}$ est orthonormée.

5. Preuve de l’orthonormalité

Si $1\leq i<j\leq n$ , les seuls degrés communs aux deux polynômes sont $0,\ldots,i$ . On obtient

\langle\pi_i,\pi_j\rangle =\frac{i-i}{\sqrt{i(i+1)j(j+1)}}=0.

Et

\|\pi_i\|^2=\frac{i+i^2}{i(i+1)}=1.

Ainsi

\boxed{(\pi_1,\ldots,\pi_n)\text{ est orthonormée}.}

6. Calcul de $P_n$

On a $\pi_i(1)=0$ pour tout $i$ . Comme $\dim F_n=n$ , la famille précédente est une base orthonormée de $F_n$ . Le projeté de $1$ vaut donc

P_n=\sum_{i=1}^{n}\langle1,\pi_i\rangle\pi_i.

Or

\langle1,\pi_i\rangle=-\frac1{\sqrt{i(i+1)}}.

Après simplification télescopique,

\boxed{P_n(X)=1-\frac1{n+1}\sum_{j=0}^{n}X^j}.

Vérification directe : $P_n(1)=0$ , donc $P_n\in F_n$ . De plus

1-P_n=\frac1{n+1}\sum_{j=0}^{n}X^j.

Une base de $F_n$ est $(X^k-1)_{1\leq k\leq n}$ , et

\langle X^k-1,1-P_n\rangle=\frac1{n+1}(1-1)=0.

Donc $1-P_n\in F_n^\perp$ , ce qui confirme que $P_n$ est bien le projeté orthogonal.

Exercice 2—Déterminant de Gram

Exercice tombé en 2020 · RMS 1064

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien et $(x_1,\ldots,x_p)$ une famille de vecteurs de $E$ . On pose

A=(\langle x_i,x_j\rangle)_{1\leq i,j\leq p}\in\mathcal M_p(\mathbb R).

Montrer que $\det(A)\geq0$ .
Montrer que $\det(A)>0$ si et seulement si $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre.

Indication›

Pour un vecteur colonne $C=(c_i)$ , calculer ${}^tCAC$ . Utiliser ensuite que $A$ est symétrique réelle.

Corrigé›

1. Positivité du déterminant

Pour $C=(c_1,\ldots,c_p)^T$ ,

{}^tCAC =\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{p}c_ic_j\langle x_i,x_j\rangle =\left\|\sum_{i=1}^{p}c_ix_i\right\|^2\geq0.

Ainsi $A$ est symétrique positive. Toutes ses valeurs propres sont donc positives ou nulles. Comme $A$ est diagonalisable par le théorème spectral,

\boxed{\det(A)\geq0}.

2. Cas d’égalité

Supposons $\det(A)>0$ . Alors $A$ est inversible. Si

\sum_{j=1}^{p}c_jx_j=0,

en prenant le produit scalaire avec chaque $x_i$ , on obtient

\sum_{j=1}^{p}c_j\langle x_i,x_j\rangle=0\qquad(1\leq i\leq p).

C’est exactement le système $AC=0$ . Comme $A$ est inversible, $C=0$ . La famille est libre.

Réciproquement, supposons $(x_1,\ldots,x_p)$ libre. Si $C\neq0$ , alors

{}^tCAC=\left\|\sum_{i=1}^{p}c_ix_i\right\|^2>0.

Ainsi $A$ est définie positive : toutes ses valeurs propres sont strictement positives, donc

\boxed{\det(A)>0}.

Exercice 3—Famille orthonormale de cosinus et opérateur symétrique

Exercice tombé en 2020 · RMS 1065 · Python

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $n\in\mathbb N$ , on pose

\varphi_n(t)=\frac2{\sqrt\pi}\cos((2n+1)t).

On munit $E=C^0([0,\pi/2],\mathbb R)$ du produit scalaire

\langle f,g\rangle=\int_0^{\pi/2}f(t)g(t)\,dt.

Montrer que la famille $(\varphi_n)_{n\in\mathbb N}$ est orthonormale.
Soit $g\in E$ . Donner une expression du projeté $P_n(g)$ de $g$ sur $\operatorname{Vect}(\varphi_k)_{0\leq k\leq n}$ .
On pose $f(x)=x^2\cos x$ . Conjecturer avec Python le comportement de la suite $(P_n(f))$ .
Pour $f\in E$ , on pose
$U(f)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\langle f,\varphi_n\rangle}{(2n+1)^2}\varphi_n.$
Montrer que $U(f)\in E$ et que $U$ est un endomorphisme symétrique de $E$ .

Indication›

Utiliser la formule produit-somme pour les cosinus. Pour l’opérateur $U$ , majorer uniformément le terme général grâce à Cauchy-Schwarz afin d’obtenir une convergence normale.

Corrigé›

1. Orthonormalité

Pour $m,n\in\mathbb N$ ,

\begin{aligned} \langle\varphi_n,\varphi_m\rangle &=\frac4\pi\int_0^{\pi/2}\cos((2m+1)t)\cos((2n+1)t)\,dt\\ &=\frac2\pi\int_0^{\pi/2}\bigl(\cos(2(n+m+1)t)+\cos(2(m-n)t)\bigr)\,dt. \end{aligned}

Cette intégrale vaut 0 si $m\neq n$ et 1 si $m=n$ . La famille est donc orthonormale.

2. Projection

Comme $(\varphi_0,\ldots,\varphi_n)$ est une base orthonormée du sous-espace considéré,

\boxed{P_n(g)=\sum_{k=0}^{n}\langle\varphi_k,g\rangle\varphi_k}.

3. Expérimentation Python

import numpy as np
import scipy.integrate as integr
import matplotlib.pyplot as plt

def ps(f, g):
    h = lambda t: f(t) * g(t)
    return integr.quad(h, 0, np.pi / 2)[0]

f = lambda t: t**2 * np.cos(t)
phi = lambda n, t: 2 / np.sqrt(np.pi) * np.cos((2*n + 1) * t)

x = np.linspace(0, np.pi / 2, 100)
y = [f(xi) for xi in x]
plt.plot(x, y, linewidth=2)

N = 20
z = [0 for _ in x]
for k in range(N + 1):
    g = lambda t, k=k: phi(k, t)
    c = ps(f, g)
    for i in range(len(x)):
        z[i] += c * g(x[i])

plt.plot(x, z, linewidth=1)

Le tracé conduit à conjecturer que

\boxed{P_n(f)\text{ converge uniformément vers }f}.

Le corrigé source propose également le calcul exact des coefficients. Pour $k\geq1$ , en posant

I_k=\int_0^{\pi/2}t^2\cos(2kt)\,dt=\frac{(-1)^k\pi}{4k^2},

on obtient

\langle\varphi_k,f\rangle =\frac{(-1)^k\sqrt\pi}{4}\left(\frac1{k^2}-\frac1{(k+1)^2}\right).

Pour $k=0$ , un calcul direct donne

\langle\varphi_0,f\rangle=\frac{\sqrt\pi(\pi^2-6)}{24}.

Ainsi

P_n(f)(t)=\frac{\pi^2-6}{12}\cos t +\frac12\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\left(\frac1{k^2}-\frac1{(k+1)^2}\right)\cos((2k+1)t).

4. L’endomorphisme $U$

Posons

u_n(t)=\frac{\langle f,\varphi_n\rangle}{(2n+1)^2}\varphi_n(t).

Par Cauchy-Schwarz, comme $\|\varphi_n\|=1$ et $|\varphi_n(t)|\leq2/\sqrt\pi$ ,

|u_n(t)|\leq\frac{2\|f\|}{\sqrt\pi(2n+1)^2}.

La série $\sum u_n$ converge donc normalement, donc uniformément, sur $[0,\pi/2]$ . Sa somme est continue : $U(f)\in E$ .

La linéarité de $U$ est immédiate. Enfin, la convergence uniforme autorise l’intégration terme à terme. Pour $f,g\in E$ ,

\begin{aligned} \langle U(f),g\rangle &=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\langle f,\varphi_n\rangle\langle g,\varphi_n\rangle}{(2n+1)^2}\\ &=\langle f,U(g)\rangle. \end{aligned}

Donc

\boxed{U\text{ est un endomorphisme symétrique de }E}.

Exercice 4—Matrice tridiagonale et endomorphisme symétrique sur Mₙ(R)

Exercice tombé en 2020 · RMS 1066 · Python

DifficultéÀ définir

Énoncé

On munit $\mathbb R^n$ du produit scalaire canonique. Soit $K_n$ la matrice de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ définie par

K_n(i,j)=\begin{cases}1&\text{si }|i-j|=1,\\0&\text{sinon.}\end{cases}

Montrer qu’il existe une base orthonormée $(U_1,\ldots,U_n)$ de $\mathbb R^n$ et des réels $\lambda_i$ tels que $K_nU_i=\lambda_iU_i$ .
Écrire une fonction Python qui renvoie $K_n$ .
On munit $\mathcal M_n(\mathbb R)$ du produit scalaire $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}({}^tAB)$ . Montrer que, si $V_{i,j}=U_i{}^tU_j$ , la famille $(V_{i,j})$ est une base orthonormée de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ .
Pour $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ , on pose $T(M)=K_nM+MK_n+M$ . Montrer que $T$ est un endomorphisme diagonalisable de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ .
Donner une fonction Python renvoyant $T(M)$ .

Indication›

Utiliser le théorème spectral pour $K_n$ . Pour la diagonalisation de $T$ , montrer que $M\mapsto K_nM+MK_n$ est symétrique pour le produit scalaire donné.

Corrigé›

1. Théorème spectral

La matrice $K_n$ est réelle symétrique. Le théorème spectral assure donc l’existence d’une base orthonormée $(U_1,\ldots,U_n)$ de vecteurs propres et de réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que

K_nU_i=\lambda_iU_i.

2. Python

import numpy as np

def K(n):
    A = np.zeros((n, n))
    for i in range(n - 1):
        A[i, i + 1] = 1
        A[i + 1, i] = 1
    return A

3. La famille $V_{i,j}$

Pour $V_{i,j}=U_i{}^tU_j$ et $V_{k,l}=U_k{}^tU_l$ ,

\begin{aligned} \langle V_{i,j},V_{k,l}\rangle &=\operatorname{tr}({}^tV_{i,j}V_{k,l})\\ &=\operatorname{tr}(U_j{}^tU_iU_k{}^tU_l)\\ &=\delta_{i,k}\operatorname{tr}(U_j{}^tU_l)\\ &=\delta_{i,k}\delta_{j,l}. \end{aligned}

La famille est donc orthonormée. Elle contient $n^2$ matrices, qui est la dimension de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ . C’est une base orthonormée.

4. Diagonalisation de $T$

Il suffit de considérer

\widetilde T(M)=K_nM+MK_n,

car $T=\widetilde T+\operatorname{id}$ . Montrons que $\widetilde T$ est symétrique. Pour $M,N\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ ,

\begin{aligned} \langle\widetilde T(M),N\rangle &=\operatorname{tr}({}^t(K_nM+MK_n)N)\\ &=\operatorname{tr}({}^tM K_nN)+\operatorname{tr}(K_n{}^tMN)\\ &=\operatorname{tr}({}^tM K_nN)+\operatorname{tr}({}^tMNK_n)\\ &=\langle M,\widetilde T(N)\rangle, \end{aligned}

où l’on a utilisé ${}^tK_n=K_n$ et la cyclicité de la trace. Ainsi $\widetilde T$ est un endomorphisme symétrique de l’espace euclidien $\mathcal M_n(\mathbb R)$ , donc il est diagonalisable. Par conséquent $T=\widetilde T+\operatorname{id}$ l’est aussi.

5. Fonction Python

def T(M):
    n = M.shape[0]
    return K(n) @ M + M @ K(n) + M

Exercice 5—Somme des coefficients d’une matrice symétrique

Exercice tombé en 2020 · RMS 1067 · Python

DifficultéÀ définir

Énoncé

On définit

f:S_n(\mathbb R)\longrightarrow\mathbb R, \qquad M=(m_{i,j})\longmapsto\sum_{1\leq i,j\leq n}m_{i,j}.

Montrer que $f$ est une forme linéaire et déterminer la dimension de $\ker f$ .
Écrire une fonction Python $f(M)$ associant à une matrice symétrique $M$ le réel $f(M)$ .
Écrire une fonction $sym(n)$ renvoyant une matrice de $S_n(\mathbb R)$ à coefficients aléatoires dans $\{-10,\ldots,10\}$ .
Comparer sur des exemples $f(A^2)$ et $f(A)^2$ . Conjecturer puis démontrer l’inégalité obtenue.

Indication›

Introduire le vecteur $X_0=(1,\ldots,1)^T$ , de sorte que $f(M)={}^tX_0MX_0$ , puis diagonaliser orthogonalement la matrice symétrique $M$ .

Corrigé›

1. Linéarité et noyau

La linéarité est immédiate. La forme linéaire n’est pas nulle, par exemple $f(I_n)=n$ . Comme

\dim S_n(\mathbb R)=\frac{n(n+1)}2,

le noyau est un hyperplan de $S_n(\mathbb R)$ :

\boxed{\dim\ker f=\frac{n(n+1)}2-1}.

2. Fonction Python

def f(M):
    n, res = len(M[0]), 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            res += M[i, j]
    return res

3. Matrice symétrique aléatoire

import numpy as np
import random as rd

def sym(n):
    A = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        A[i, i] = rd.randint(-10, 10)
        for j in range(i + 1, n):
            A[i, j] = A[j, i] = rd.randint(-10, 10)
    return A

4. Conjecture et preuve

Les essais suggèrent

\boxed{f(M)^2\leq n\,f(M^2)}.

Posons

X_0=(1,\ldots,1)^T.

Pour toute matrice $M$ ,

f(M)={}^tX_0MX_0.

Si $M$ est symétrique réelle, le théorème spectral fournit $P\in O_n(\mathbb R)$ et $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ tels que

M=P D{}^tP.

Posons $Y_0={}^tPX_0=(y_1,\ldots,y_n)^T$ . Comme $P$ est orthogonale,

\sum_{k=1}^{n}y_k^2=\|Y_0\|^2=\|X_0\|^2=n.

D’autre part,

f(M)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_ky_k^2

et, puisque $M^2=PD^2{}^tP$ ,

f(M^2)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_k^2y_k^2.

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbb R^n$ ,

\begin{aligned} f(M)^2 &=\left(\sum_{k=1}^{n}(\lambda_ky_k)y_k\right)^2\\ &\leq\left(\sum_{k=1}^{n}\lambda_k^2y_k^2\right) \left(\sum_{k=1}^{n}y_k^2\right)\\ &=n\,f(M^2). \end{aligned}

Exercice 6—Gram-Schmidt et décomposition QR

Exercice tombé en 2020 · RMS 1068 · Python

DifficultéÀ définir

Énoncé

Montrer qu’étant donnée une famille libre $(x_1,\ldots,x_n)$ de vecteurs de $\mathbb R^n$ , il existe une base orthonormée $\mathcal B$ telle que $\operatorname{mat}_{\mathcal B}(x_1,\ldots,x_n)$ soit triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs.
Soit $A\in GL_n(\mathbb R)$ . Montrer qu’il existe $Q\in O_n(\mathbb R)$ et $R\in T_n^+(\mathbb R)$ tels que $A=QR$ .
Coder en Python le procédé de Gram-Schmidt dans $\mathbb R^n$ et vérifier le programme.
Coder en Python la décomposition QR.
Déterminer $O_n(\mathbb R)\cap T_n^+(\mathbb R)$ . En déduire l’unicité de la décomposition QR.

Indication›

La première question est exactement l’orthonormalisation de Gram-Schmidt avec le choix de signes imposant $\langle e_k,x_k\rangle>0$ . Pour l’unicité, comparer deux décompositions et observer que le quotient appartient à la fois au groupe orthogonal et aux matrices triangulaires supérieures à diagonale positive.

Corrigé›

1. Gram-Schmidt

Le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt fournit une base orthonormée $\mathcal B=(e_1,\ldots,e_n)$ telle que, pour tout $k$ ,

\operatorname{Vect}(e_1,\ldots,e_k)=\operatorname{Vect}(x_1,\ldots,x_k).

Cette propriété entraîne que la matrice des vecteurs $x_1,\ldots,x_n$ dans la base $\mathcal B$ est triangulaire supérieure. En choisissant à chaque étape le signe de $e_k$ de sorte que $\langle e_k,x_k\rangle>0$ , les coefficients diagonaux sont strictement positifs.

2. Décomposition QR

Soit $\mathcal B_0$ la base canonique et soit $(x_1,\ldots,x_n)$ la famille constituée par les colonnes de $A$ . Puisque $A$ est inversible, cette famille est libre.

La première question fournit une base orthonormée $\mathcal B$ telle que

A=\operatorname{Pass}(\mathcal B_0,\mathcal B)\operatorname{Pass}(\mathcal B,(x_1,\ldots,x_n)).

La première matrice, notée $Q$ , est orthogonale ; la seconde, notée $R$ , est triangulaire supérieure à diagonale strictement positive. Donc

\boxed{A=QR}.

3. Gram-Schmidt en Python

import numpy as np

def gram_schmidt(vectors):
    basis = []
    for x in vectors:
        u = np.array(x, dtype=float)
        for e in basis:
            u = u - np.dot(e, x) * e
        e = u / np.linalg.norm(u)
        if np.dot(e, x) < 0:
            e = -e
        basis.append(e)
    return basis

def verif(vectors):
    Q = np.column_stack(gram_schmidt(vectors))
    return Q.T @ Q

4. Décomposition QR en Python

def decomposition(A):
    columns = [A[:, j] for j in range(A.shape[1])]
    basis = gram_schmidt(columns)
    Q = np.column_stack(basis)
    R = Q.T @ A
    return Q, R

5. Unicité

Soit $S\in O_n(\mathbb R)\cap T_n^+(\mathbb R)$ . Comme $S$ est triangulaire supérieure et orthogonale, sa première colonne est de la forme $(s_{1,1},0,\ldots,0)^T$ et a norme 1. La positivité de la diagonale impose $s_{1,1}=1$ . L’orthogonalité avec les autres colonnes impose ensuite que leur première coordonnée soit nulle. En répétant le raisonnement,

\boxed{O_n(\mathbb R)\cap T_n^+(\mathbb R)=\{I_n\}}.

Supposons

A=Q_1R_1=Q_2R_2

avec $Q_1,Q_2\in O_n(\mathbb R)$ et $R_1,R_2\in T_n^+(\mathbb R)$ . Alors

Q_2^{-1}Q_1=R_2R_1^{-1}.

Le membre de gauche est orthogonal et le membre de droite appartient à $T_n^+(\mathbb R)$ . Ils sont donc égaux à $I_n$ . Ainsi

\boxed{Q_1=Q_2\quad\text{et}\quad R_1=R_2}.

Exercice 7—Caractérisation des matrices symétriques positives par la trace

Exercice tombé en 2020 · RMS 1069

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit d’abord $A\in S_n(\mathbb R)$ telle que $\operatorname{Sp}(A)\subset\mathbb R_+$ .

Montrer que
$(*)\qquad \forall P\in O_n(\mathbb R),\quad \operatorname{tr}(PA)\leq\operatorname{tr}(A).$

Réciproquement, soit maintenant $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ vérifiant $(*)$ .

Montrer que, pour $n=2$ , on a $A\in S_2(\mathbb R)$ .
Montrer que l’on a toujours $A\in S_n(\mathbb R)$ .
Montrer que $\operatorname{Sp}(A)\subset\mathbb R_+$ et conclure.

Indication›

Pour la réciproque, tester la propriété sur des rotations agissant seulement dans un plan de coordonnées $(p,q)$ . Une fois la symétrie obtenue, diagonaliser $A$ et tester la propriété avec une matrice orthogonale diagonale ayant un seul coefficient égal à $-1$ .

Corrigé›

1. Sens direct

Le théorème spectral donne $Q\in O_n(\mathbb R)$ et

D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n),\qquad \lambda_i\geq0,

tels que $A=QD{}^tQ$ . Pour $P\in O_n(\mathbb R)$ , posons $U={}^tQPQ$ . Alors $U\in O_n(\mathbb R)$ et

\operatorname{tr}(PA)=\operatorname{tr}(UD)=\sum_{i=1}^{n}u_{i,i}\lambda_i.

Comme $|u_{i,i}|\leq1$ et $\lambda_i\geq0$ ,

\operatorname{tr}(PA)\leq\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=\operatorname{tr}(A).

2. Cas $n=2$

Écrivons

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

et prenons, pour $\theta\in\mathbb R$ ,

R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.

La propriété $(*)$ donne

(a+d)(\cos\theta-1)+(b-c)\sin\theta\leq0\qquad\forall\theta.

La fonction de gauche atteint donc un maximum en $\theta=0$ . Sa dérivée en 0 est nulle :

b-c=0.

Ainsi $A$ est symétrique.

3. Cas général

Fixons $1\leq p<q\leq n$ et considérons une rotation $R_\theta$ qui agit comme l’identité sur les autres coordonnées et comme

\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}

sur le plan engendré par les vecteurs de base $e_p,e_q$ . Le même calcul donne

(a_{p,p}+a_{q,q})(\cos\theta-1)+(a_{p,q}-a_{q,p})\sin\theta\leq0\qquad\forall\theta.

La dérivée en $0$ est donc nulle :

a_{p,q}=a_{q,p}.

Comme ceci vaut pour tout couple $p<q$ ,

\boxed{A\in S_n(\mathbb R)}.

4. Positivité du spectre

Comme $A$ est maintenant symétrique, il existe $Q\in O_n(\mathbb R)$ tel que

A=QD{}^tQ,\qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).

La conjugaison $P\mapsto{}^tQPQ$ est une bijection de $O_n(\mathbb R)$ sur lui-même. La propriété $(*)$ devient donc

\forall U\in O_n(\mathbb R),\qquad \sum_{i=1}^{n}u_{i,i}\lambda_i\leq\sum_{i=1}^{n}\lambda_i.

Fixons $j$ et choisissons $U$ diagonale avec tous les coefficients diagonaux égaux à 1 sauf le $j$ -ième, égal à $-1$ . On obtient

\sum_{i\neq j}\lambda_i-\lambda_j\leq\sum_{i=1}^{n}\lambda_i,

d’où $\lambda_j\geq0$ . Ceci vaut pour tout $j$ .

Finalement,

\boxed{ \forall P\in O_n(\mathbb R),\ \operatorname{tr}(PA)\leq\operatorname{tr}(A) \iff A\in S_n(\mathbb R)\text{ et }\operatorname{Sp}(A)\subset\mathbb R_+ }

Espaces euclidiens

Exercices 2020

Exercice 1—Produit scalaire sur les polynômes et projection

Exercice 2—Déterminant de Gram

Exercice 3—Famille orthonormale de cosinus et opérateur symétrique

Exercice 4—Matrice tridiagonale et endomorphisme symétrique sur Mₙ(R)

Exercice 5—Somme des coefficients d’une matrice symétrique

Exercice 6—Gram-Schmidt et décomposition QR

Exercice 7—Caractérisation des matrices symétriques positives par la trace