Équations différentielles

On considère

1. Résoudre $(E)$ sur $]-\infty,0[$, $]0,1[$ et $]1,+\infty[$.
2. Montrer qu’il existe une unique solution sur $]-\infty,1[$.
3. Montrer qu’elle est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $]-\infty,1[$.

Soit $a\in\mathbb R$. On recherche sur$]-1,1[$ les solutions de

1. Résoudre l’équation lorsque $a=0$.
2. Dans le cas général, montrer que les solutions sont développables en série entière. Pour quelles valeurs de $a$ existe-t-il des solutions polynomiales non nulles ?

1. Déterminer le rayon de convergence de
   $$f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{2n}}{2n-1}$$
   et exprimer sa somme à l’aide des fonctions usuelles.
2. Déterminer les solutions développables en série entière au voisinage de l’origine de
   $$(1-t^2)y''-2ty'+2y=0.$$

Soient $E=\mathcal C^0([0,1],\mathbb R)$,$F=\mathcal C^\infty([0,1],\mathbb R)$,

Pour $u\in E$, on considère

On pose $f_i(s)=e^{\lambda_i(1-s)}$.

1. Résoudre $(L_u)$.
2. Si $Y_u$ est la solution nulle en $0$ et
   $$Y_u(1)={}^t(\varphi_1(u),\ldots,\varphi_n(u))=\Phi(u),$$
   montrer que $\varphi_i\in\mathcal L(E,\mathbb R)$ et$\Phi\in\mathcal L(E,\mathbb R^n)$.