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Analyse générale

Cette page réunit les exercices de analyse générale du concours Centrale PC issus de la RMS 2020. Les corrigés suivent au plus près le document fourni, avec une rédaction légèrement remise en forme.

Centrale

Exercices 2020

5 exercices

Exercice 1—Comparaison optimale de deux normes sur les polynômes

Exercice tombé en 2020 · RMS 1070

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $P\in\mathbb R_n[X]$ , on pose

\|P\|=\sum_{k=1}^{n}\left|P\!\left(\frac1k\right)\right|+|P(0)|

\|P\|_\infty=\sup_{t\in[0,1]}|P(t)|.

Trouver les constantes optimales $C_1$ et $C_2$ telles que, pour tout $P\in\mathbb R_n[X]$ ,

C_1\|P\|_\infty\leq \|P\|\leq C_2\|P\|_\infty.

Indication›

Pour la majoration, utiliser directement les $n+1$ valeurs de $P$ . Pour la minoration, introduire les polynômes de Lagrange associés aux points $a_0=0$ et $a_k=1/k$ .

Corrigé›

On a immédiatement, pour tout $P\in\mathbb R_n[X]$ ,

\|P\|\leq (n+1)\|P\|_\infty.

L’égalité est atteinte pour le polynôme constant $P=1$ . Ainsi,

\boxed{C_2=n+1}.

Posons maintenant $a_0=0$ et $a_k=1/k$ pour $1\leq k\leq n$ . Les polynômes de Lagrange

L_k(X)=\prod_{\substack{0\leq i\leq n\\ i\neq k}}\frac{X-a_i}{a_k-a_i}

forment une base de $\mathbb R_n[X]$ , et

P=\sum_{k=0}^{n}P(a_k)L_k.

Posons

\lambda=\max_{0\leq k\leq n}\|L_k\|_\infty.

Pour $t\in[0,1]$ ,

|P(t)|\leq \sum_{k=0}^{n}|P(a_k)|\,|L_k(t)|\leq \lambda\sum_{k=0}^{n}|P(a_k)|=\lambda\|P\|.

Donc

\frac1\lambda\|P\|_\infty\leq \|P\|.

Si $j$ réalise le maximum, alors $\|L_j\|=1$ puisque $L_j(a_k)=\delta_{jk}$ , tandis que $\|L_j\|_\infty=\lambda$ . L’égalité est donc atteinte.

\boxed{C_1=\frac{1}{\max_{0\leq k\leq n}\|L_k\|_\infty}}.

Exercice 2—Produit matriciel et limite exponentielle

Exercice tombé en 2020 · RMS 1072

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soient $r\in\mathbb N^*$ , $A\in\mathcal M_r(\mathbb C)$ et, pour $n\geq1$ ,

f_n(A)=\prod_{k=1}^{n}\left(I_r+\frac{k}{n^2}A\right).

Vérifier avec Python que, pour $r=1$ et $a\in\mathbb R$ , $f_n(a)\to e^{a/2}$ .
Soit $g\in\mathcal C^1([0,1],\mathbb C)$ avec $g(0)=0$ . Montrer que $\sum_{k=1}^{n}g(k/n^2)\to g'(0)/2$ .
Démontrer la convergence dans le cas scalaire réel.
La démontrer ensuite pour un scalaire complexe.
Illustrer avec Python la convergence pour la matrice donnée dans le sujet.
Démontrer la convergence pour cette matrice.

A=\begin{pmatrix}6&2\sqrt2&0\\2\sqrt2&6&2\sqrt2\\0&2\sqrt2&6\end{pmatrix}.

Indication›

Pour le cas réel, appliquer la question 2 à $g(t)=\ln(1+at)$ . Pour la matrice finale, utiliser qu’elle est symétrique et que ses valeurs propres sont $2,6,10$ .

Corrigé›

1. Observation numérique

import numpy as np

a = 3
for n in range(1, 101):
    x = np.exp(-a/2)
    for k in range(1, n+1):
        x *= 1 + k*a/n**2
    print(x)

Le produit numérique tend bien vers $1$ après multiplication par $e^{-a/2}$ .

2. Lemme de sommation

Par Taylor-Young en zéro,

g(x)=xg'(0)+xr(x),\qquad r(x)\to0.

Ainsi

\sum_{k=1}^{n}g\!\left(\frac{k}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}g'(0)+\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}r\!\left(\frac{k}{n^2}\right).

Le second terme tend vers $0$ , uniformément sur les indices, d’où

\boxed{\sum_{k=1}^{n}g(k/n^2)\longrightarrow \frac{g'(0)}2}.

3. Cas réel

Pour $n$ assez grand, tous les facteurs sont positifs et

\ln f_n(a)=\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{ka}{n^2}\right).

On applique le lemme à $g(t)=\ln(1+at)$ , pour lequel $g'(0)=a$ . Ainsi

\ln f_n(a)\to \frac a2,\qquad \boxed{f_n(a)\to e^{a/2}}.

4. Cas complexe

Le corrigé RMS établit d’abord le lemme, pour $u_1,\ldots,u_n\in\mathbb C$ ,

\left|\prod_{k=1}^{n}(1+u_k)-1\right|\leq \prod_{k=1}^{n}(1+|u_k|)-1.

En comparant chaque facteur à $e^{kz/n^2}$ , le reste est majoré par une quantité de la forme $e^{M(z)/n}-1$ , qui tend vers zéro. On obtient donc encore

\boxed{f_n(z)\to e^{z/2}}.

5–6. Matrice du sujet

La matrice $A$ est réelle symétrique. Son polynôme caractéristique est

\chi_A(X)=(X-2)(X-6)(X-10).

Elle est donc semblable à

D=\operatorname{diag}(2,6,10).

Si $A=PDP^{-1}$ , alors les facteurs du produit commutent et

f_n(A)=P\,\operatorname{diag}(f_n(2),f_n(6),f_n(10))\,P^{-1}.

Par la question scalaire,

\boxed{f_n(A)\longrightarrow P\,\operatorname{diag}(e,e^3,e^5)\,P^{-1}=e^{A/2}}.

Exercice 3—Valeurs entières d’un polynôme et limite exponentielle

Exercice tombé en 2020 · RMS 1073

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $P\in\mathbb R[X]$ . On suppose que

e^{2i\pi P(n)}\longrightarrow1\qquad(n\to+\infty).

Montrer que

\forall n\in\mathbb Z,\qquad P(n)\in\mathbb Z.

Indication›

Faire une récurrence sur le degré de $P$ et considérer $Q(X)=P(X+1)-P(X)$ .

Corrigé›

On raisonne par récurrence sur $d=\deg P$ .

Si $d=0$ , alors $P=a_0$ et $e^{2i\pi a_0}=1$ , donc $a_0\in\mathbb Z$ .

Supposons le résultat acquis au degré $d$ et soit $P$ de degré $d+1$ . Posons

Q(X)=P(X+1)-P(X).

Alors $\deg Q=d$ et

e^{2i\pi Q(n)}=\frac{e^{2i\pi P(n+1)}}{e^{2i\pi P(n)}}\longrightarrow1.

Par hypothèse de récurrence,

P(n+1)-P(n)=Q(n)\in\mathbb Z\qquad(n\in\mathbb Z).

En particulier la suite $e^{2i\pi P(n)}$ est constante sur les entiers consécutifs. Comme elle converge vers $1$ quand $n\to+\infty$ , elle vaut identiquement $1$ sur $\mathbb Z$ .

\boxed{P(n)\in\mathbb Z\quad\text{pour tout }n\in\mathbb Z}.

Exercice 4—Solutions de tan x = x et développement asymptotique

Exercice tombé en 2020 · RMS 1074

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $n\in\mathbb N^*$ , montrer que l’équation $\tan x=x$ possède une unique solution $x_n$ dans $]n\pi-\pi/2,n\pi+\pi/2[$ .
Donner un développement asymptotique à trois termes de $x_n$ .

Indication›

Étudier $x\mapsto\tan x-x$ , puis poser $y_n=x_n-n\pi$ et enfin $\varepsilon_n=\pi/2-y_n$ .

Corrigé›

Sur $I_n=]n\pi-\pi/2,n\pi+\pi/2[$ , la fonction

F(x)=\tan x-x

est strictement croissante car $F'(x)=\tan^2x\geq0$ , et elle passe de $-\infty$ à $+\infty$ . Il existe donc une unique solution $x_n$ . Comme $F(n\pi)=-n\pi<0$ ,

n\pi<x_n<n\pi+\frac\pi2.

Posons $y_n=x_n-n\pi$ . Alors

\tan y_n=\tan x_n=x_n=n\pi+y_n\to+\infty,

donc $y_n\to\pi/2$ .

En posant $\varepsilon_n=\pi/2-y_n$ ,

\tan\varepsilon_n=\frac1{\tan y_n}=\frac1{n\pi+y_n}\sim\frac1{n\pi}.

Comme $\tan\varepsilon_n\sim\varepsilon_n$ lorsque $\varepsilon_n\to0$ ,

\varepsilon_n=\frac1{n\pi}+o\!\left(\frac1n\right).

Finalement,

\boxed{x_n=n\pi+\frac\pi2-\frac1{n\pi}+o\!\left(\frac1n\right)}.

Exercice 5—Dérivabilité d’une fonction à intégrale oscillante

Exercice tombé en 2020 · RMS 1080

DifficultéÀ définir

Énoncé

On pose, pour $t\in[0,1]$ ,

f(t)=t(1+t)+\int_0^t\sin\!\left(\frac1u\right)\,du.

Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,1]$ .
Montrer que $f'([0,1])$ est un intervalle mais pas un segment.

Indication›

Indication ajoutée : sur $]0,1]$ , dériver par le théorème fondamental. En $0$ , revenir au taux d’accroissement et exploiter l’oscillation de $\sin(1/u)$ .

Corrigé›

Corrigé source non fourni

Dans le PDF RMS 2020 transmis, l’énoncé 1080 est suivi de « SOLUTION - » sans aucun développement. Je n’ai donc pas fabriqué de corrigé à la place de la source.

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