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Exercice 1—Déterminants, polynômes et Vandermonde

Exercice tombé en 2020 · RMS 1047

DifficultéÀ définir

Énoncé

Pour $p\in\mathbb{N}$ , on pose

A_p=\bigl((i+j-1)^p\bigr)_{1\leq i,j\leq p+1} \qquad\text{et}\qquad B_p=\bigl((i+j-1)^p\bigr)_{1\leq i,j\leq p+2}.

Montrer que $B_p$ n’est pas inversible.
Calculer $\det(A_p)$ .

Indication›

Pour la première question, introduire $P_i(X)=(X+i)^p$ et utiliser la dimension de $\mathbb{R}_p[X]$ .

Pour la seconde, calculer $BC$ avec $B_{i,j}=\binom{p}{j-1}i^{j-1}$ et $C_{i,j}=(j-1)^{p+1-i}$ , puis reconnaître des déterminants de Vandermonde.

Corrigé›

1. Non-inversibilité de $B_p$

Pour $i\in\{1,\ldots,p+2\}$ , posons

P_i(X)=(X+i)^p.

La matrice $B_p$ s’écrit

B_p= \begin{pmatrix} P_1(0)&P_1(1)&\cdots&P_1(p+1)\\ P_2(0)&P_2(1)&\cdots&P_2(p+1)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ P_{p+2}(0)&P_{p+2}(1)&\cdots&P_{p+2}(p+1) \end{pmatrix}.

Les polynômes $P_1,\ldots,P_{p+2}$ sont $p+2$ vecteurs de l’espace $\mathbb{R}_p[X]$ , qui est de dimension $p+1$ . La famille est donc liée : il existe des réels $\alpha_1,\ldots,\alpha_{p+2}$ , non tous nuls, tels que

\alpha_1P_1+\cdots+\alpha_{p+2}P_{p+2}=0.

La même combinaison linéaire des lignes de $B_p$ est donc la ligne nulle. Les lignes sont liées, d’où

\boxed{\det(B_p)=0}.

2. Calcul de $\det(A_p)$

Introduisons les matrices carrées de taille $p+1$

B=\left(\binom{p}{j-1}i^{j-1}\right)_{1\leq i,j\leq p+1}, \qquad C=\bigl((j-1)^{p+1-i}\bigr)_{1\leq i,j\leq p+1}.

Si $D=BC=(d_{i,j})$ , alors, par la formule du binôme,

\begin{aligned} d_{i,j} &=\sum_{k=1}^{p+1} \binom{p}{k-1}i^{k-1}(j-1)^{p+1-k}\\ &=\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}i^k(j-1)^{p-k}\\ &=(i+j-1)^p. \end{aligned}

Ainsi $A_p=BC$ et

\det(A_p)=\det(B)\det(C).

Pour $B$ , on sort le facteur $\binom p{j-1}$ de la colonne $j$ . Le déterminant restant est un Vandermonde évalué en $1,2,\ldots,p+1$ :

\begin{aligned} \det(B) &=\left(\prod_{k=0}^{p}\binom pk\right) \prod_{1\leq i<j\leq p+1}(j-i)\\ &=\left(\prod_{k=0}^{p}\frac{p!}{k!(p-k)!}\right) \left(\prod_{j=2}^{p+1}(j-1)!\right)\\ &=\boxed{\frac{(p!)^{p+1}}{\prod_{k=1}^{p}k!}}. \end{aligned}

Pour $C$ , on inverse l’ordre des lignes. On obtient alors un Vandermonde évalué en $0,1,\ldots,p$ . Le renversement de $p+1$ lignes apporte le signe $(-1)^{\lfloor(p+1)/2\rfloor}$ , donc

\det(C)= (-1)^{\lfloor(p+1)/2\rfloor} \prod_{j=1}^{p}j!.

Finalement les produits de factorielles se simplifient :

\boxed{ \det(A_p)=(-1)^{\lfloor(p+1)/2\rfloor}(p!)^{p+1} }

Exercice 2—Matrices à diagonale dominante et déterminant

Exercice tombé en 2020 · RMS 1061 · Python

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ . Pour $i\in\llbracket1,n\rrbracket$ , on note

\rho_i(A)=|a_{i,i}|-\sum_{j\neq i}|a_{i,j}|.

Une matrice est dite à diagonale dominante si $\rho_i(A)>0$ pour tout $i$ .

Montrer qu’une matrice à diagonale dominante est inversible.
Étudier la réciproque.
Programmer en Python une fonction d’argument une matrice à diagonale dominante et renvoyant $\prod_{k=1}^{n}\rho_k(A)$ .
Comparer sur des exemples $\prod_{k=1}^{n}\rho_k(A)$ et $|\det(A)|$ . Conjecture ?
Prouver la conjecture.

Indication›

Pour l’inversibilité, partir de $AX=0$ et choisir une coordonnée de $X$ de module maximal.

Pour la dernière question, normaliser chaque ligne en la divisant par $\rho_i(A)$ et utiliser le fait qu’une matrice non inversible ne peut pas être à diagonale dominante.

Corrigé›

1. Théorème d’Hadamard

Supposons $AX=0$ avec $X=(x_1,\ldots,x_n)^T$ . Choisissons $i_0$ tel que

|x_{i_0}|=\max_{1\leq i\leq n}|x_i|.

La ligne $i_0$ de l’égalité donne

a_{i_0,i_0}x_{i_0} =-\sum_{j\neq i_0}a_{i_0,j}x_j.

Donc

|a_{i_0,i_0}|\,|x_{i_0}| \leq |x_{i_0}|\sum_{j\neq i_0}|a_{i_0,j}|.

Autrement dit,

\rho_{i_0}(A)|x_{i_0}|\leq0.

Comme $\rho_{i_0}(A)>0$ , on a $x_{i_0}=0$ , puis toutes les coordonnées de $X$ sont nulles. Ainsi le noyau est réduit à zéro et

\boxed{A\text{ est inversible}.}

2. Réciproque

La réciproque est fausse. Par exemple

A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}

est inversible, mais la première ligne ne vérifie pas la domination diagonale puisque $1-2<0$ .

3. Fonction Python

import numpy as np
import numpy.linalg as alg

def rho(A):
    n, res = len(A[0]), 1
    for k in range(n):
        s = abs(A[k, k])
        for j in range(n):
            if j != k:
                s -= abs(A[k, j])
        res *= s
    return res

4. Conjecture

Les essais conduisent à conjecturer

\boxed{ \prod_{k=1}^{n}\rho_k(A)\leq|\det(A)| }

5. Preuve

Commençons par une remarque. Si $\lambda\in\operatorname{Sp}(A)$ , alors $A-\lambda I_n$ n’est pas inversible. D’après la première question, elle n’est donc pas à diagonale dominante. Il existe donc un indice $i_0$ tel que

|a_{i_0,i_0}-\lambda| \leq\sum_{j\neq i_0}|a_{i_0,j}|.

Par l’inégalité triangulaire renversée,

|a_{i_0,i_0}|-|\lambda| \leq |a_{i_0,i_0}-\lambda| \leq\sum_{j\neq i_0}|a_{i_0,j}|,

d’où

\rho_{i_0}(A)\leq|\lambda|.

Posons maintenant

A'= \left(\frac{a_{i,j}}{\rho_i(A)}\right)_{1\leq i,j\leq n}.

On a, par construction, $\rho_i(A')=1$ pour tout $i$ . Par la remarque précédente, toute valeur propre $\lambda$ de $A'$ vérifie $|\lambda|\geq1$ . Par conséquent,

|\det(A')| =\prod_{\lambda\in\operatorname{Sp}(A')}|\lambda| \geq1

en comptant les valeurs propres avec leurs multiplicités. Enfin, puisque chaque ligne de $A$ a été divisée par $\rho_i(A)$ ,

\det(A)= \left(\prod_{k=1}^{n}\rho_k(A)\right)\det(A').

En prenant les modules, on obtient bien

\boxed{ \prod_{k=1}^{n}\rho_k(A)\leq|\det(A)| }

Algèbre linéaire

Exercices 2020

Exercice 1—Déterminants, polynômes et Vandermonde

Exercice 2—Matrices à diagonale dominante et déterminant