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Algèbre générale

Exercices d’algèbre générale tombés à Centrale PC en 2020. Cherchez d’abord à partir de l’énoncé, puis ouvrez une indication ou le corrigé lorsque vous en avez besoin.

Exercices 2020

Exercice 1—Polynômes associés à x + 1/x

Exercice tombé en 2020 · RMS 1046

DifficultéÀ définir

Énoncé

Soit $k\in\mathbb{N}$ .

Montrer qu’il existe un unique polynôme $R_k$ tel que, pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ ,
$R_k\!\left(x+\frac1x\right)=x^k+\frac1{x^k}.$
Donner une expression de $R_k$ .

Indication›

Pour l’existence, établir une relation de récurrence entre $R_{k+1}$ , $R_k$ et $R_{k-1}$ .

Pour l’expression explicite, utiliser $x=e^{i\theta}$ et s’intéresser à $R_k(2\cos\theta)$ .

Corrigé›

1. Existence

Pour $k=1$ , le polynôme $R_1=X$ convient. Pour $k=2$ , le polynôme $R_2=X^2-2$ convient puisque

\left(x+\frac1x\right)^2-2=x^2+\frac1{x^2}.

Supposons le résultat acquis jusqu’à un entier $k\geq2$ . Alors

\begin{aligned} \left(x+\frac1x\right) R_k\!\left(x+\frac1x\right) &=\left(x+\frac1x\right) \left(x^k+\frac1{x^k}\right)\\ &=x^{k+1}+\frac1{x^{k+1}}+x^{k-1}+\frac1{x^{k-1}}\\ &=x^{k+1}+\frac1{x^{k+1}} +R_{k-1}\!\left(x+\frac1x\right). \end{aligned}

On en déduit

x^{k+1}+\frac1{x^{k+1}} =\bigl(XR_k-R_{k-1}\bigr)\!\left(x+\frac1x\right).

Ainsi le polynôme

\boxed{R_{k+1}=XR_k-R_{k-1}}

convient, ce qui achève l’existence par récurrence.

Unicité

Supposons que deux polynômes $R_k$ et $Q_k$ conviennent. Alors, pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ ,

(R_k-Q_k)\!\left(x+\frac1x\right)=0.

Prenons $x=e^t$ avec $t\in\mathbb{R}$ . Il vient

(R_k-Q_k)(2\cosh t)=0\qquad\text{pour tout }t\in\mathbb{R}.

Le polynôme $R_k-Q_k$ s’annule donc sur une infinité de réels, par exemple sur $[2,+\infty[$ . Il est nul, d’où l’unicité.

2. Expression de R_k

La relation de récurrence montre notamment que $\deg R_k=k$ . L’identité

x^kR_k\!\left(x+\frac1x\right)=x^{2k}+1

est polynomiale ; elle reste donc valable sur $\mathbb{C}^*$ . Avec $x=e^{i\theta}$ , on obtient

R_k(2\cos\theta)=e^{ik\theta}+e^{-ik\theta}=2\cos(k\theta).

\begin{aligned} 2\cos(k\theta) &=2\operatorname{Re}(\cos\theta+i\sin\theta)^k\\ &=2\sum_{p=0}^{\lfloor k/2\rfloor} \binom{k}{2p} \cos^{k-2p}\theta\,(-1)^p\sin^{2p}\theta. \end{aligned}

En utilisant $\cos\theta=X/2$ et $-\sin^2\theta=X^2/4-1$ , on obtient

\boxed{ R_k(X)=\frac1{2^{k-1}} \sum_{p=0}^{\lfloor k/2\rfloor} \binom{k}{2p} X^{k-2p}(X^2-4)^p }

Exercice 2—Restes modulo Xⁿ⁺¹ et base d’un espace de polynômes

Exercice tombé en 2020 · RMS 1059

DifficultéÀ définir

Énoncé

Si $T=X+\sum_{k=2}^{n}t_kX^k\in\mathbb{C}_n[X]$ , on pose $\mathcal F_T=(P_k)_{1\leq k\leq n}$ , où $P_k$ est le reste de la division euclidienne de $T^k$ par $X^{n+1}$ .

On pose $T_1=X+X^2$ et $T_2=X+2X^2+X^3$ . Déterminer $\mathcal F_{T_1}$ et $\mathcal F_{T_2}$ .
Soit $V_n=\{R\in\mathbb{C}_n[X]\,;\,R(0)=0\}$ . Montrer que $V_n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}_n[X]$ et préciser sa dimension.
Montrer que $\mathcal F_T=(P_k)_{1\leq k\leq n}$ est une base de $V_n$ .

Indication›

Dans les deux exemples, factoriser $T_i$ par $X$ puis développer avec le binôme de Newton en ne gardant que les termes de degré au plus $n$ .

Pour la dernière question, montrer que $P_k=X^k+\text{termes de degré strictement supérieur}$ .

Corrigé›

1. Calcul de $\mathcal F_{T_1}$

Comme $T_1=X(1+X)$ , pour $1\leq k\leq n$ ,

T_1^k=X^k(1+X)^k =\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}X^{k+i}.

Le reste modulo $X^{n+1}$ est donc

\boxed{ P_k=\sum_{i=0}^{\min(k,n-k)}\binom{k}{i}X^{k+i} }

Ainsi, si $k\leq\lfloor n/2\rfloor$ ,

P_k=\binom{k}{0}X^k+\binom{k}{1}X^{k+1}+\cdots+\binom{k}{k}X^{2k},

et sinon la somme s’arrête au terme de degré $n$ .

Calcul de $\mathcal F_{T_2}$

Ici $T_2=X(1+X)^2$ . Donc

T_2^k=X^k(1+X)^{2k} =\sum_{i=0}^{2k}\binom{2k}{i}X^{k+i}.

Par conséquent,

\boxed{ P_k=\sum_{i=0}^{\min(2k,n-k)}\binom{2k}{i}X^{k+i} }

Si $k\leq\lfloor n/3\rfloor$ , tous les termes jusqu’à $X^{3k}$ sont conservés ; sinon on tronque au degré $n$ .

2. L’espace $V_n$

On a immédiatement

V_n=\operatorname{Vect}(X,X^2,\ldots,X^n).

C’est donc un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}_n[X]$ et

\boxed{\dim V_n=n}.

3. La famille $\mathcal F_T$

Écrivons

T=X\left(1+\sum_{i=1}^{n-1}t_{i+1}X^i\right).

Pour tout $k\in\{1,\ldots,n\}$ ,

T^k=X^k\left(1+p_{k,1}X+p_{k,2}X^2+\cdots\right).

En prenant le reste modulo $X^{n+1}$ , on obtient une expression de la forme

P_k=X^k\left(1+p_{k,1}X+\cdots+p_{k,n-k}X^{n-k}\right).

En particulier, $P_k(0)=0$ , donc $P_k\in V_n$ pour tout $k$ .

Il reste à montrer la liberté. Supposons

\lambda_1P_1+\lambda_2P_2+\cdots+\lambda_nP_n=0.

S’il existe un coefficient non nul, posons $\nu=\min\{i\,;\,\lambda_i\neq0\}$ . Au voisinage de $0$ , les termes de plus petite valuation donnent alors

\lambda_\nu x^\nu+o(x^\nu)=0,

ce qui est impossible puisque $\lambda_\nu\neq0$ . La famille est donc libre. Elle contient $n$ vecteurs d’un espace de dimension $n$ : c’est une base.

\boxed{\mathcal F_T=(P_k)_{1\leq k\leq n}\text{ est une base de }V_n.}

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