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Suites et séries

Cette sélection réunit des exercices choisit par Grand Maître Maxime. Cherchez d’abord à partir de l’énoncé, puis ouvrez une indication ou le corrigé lorsque vous en avez besoin.

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Exercice 1—Ensemble des sommes de carrés sous contrainte de somme

RMS 2024

Difficulté★★★☆☆

Énoncé

Soit A∈R+A \in \mathbb{R}_+. On définit l'ensemble Δ\Delta par :

Δ={∑n=0+∞xn2  |  (xn)n∈N∈(R+)N et ∑n=0+∞xn=A}\Delta = \left\{ \sum_{n=0}^{+\infty} x_n^2 \;\middle|\; (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in (\mathbb{R}_+)^{\mathbb{N}} \text{ et } \sum_{n=0}^{+\infty} x_n = A \right\}

Déterminer l'ensemble Δ\Delta.

Indication›

1. Montrer que pour toute suite à termes positifs, ∑n=0+∞xn2⩽(∑n=0+∞xn)2\sum_{n=0}^{+\infty} x_n^2 \leqslant \left(\sum_{n=0}^{+\infty} x_n\right)^2, afin d'obtenir une borne supérieure pour Δ\Delta.

2. Construire des suites particulières à support fini (par exemple uniformes sur NN termes) pour montrer que l'on peut s'approcher de 00.

3. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires sur une famille de suites bien choisies pour recouvrir les intervalles [A22N,A2N]\left[\frac{A^2}{2N}, \frac{A^2}{N}\right] puis conclure par réunion.

Corrigé›

1. Majoration des éléments de Δ\Delta

Soit (xn)n∈N∈(R+)N(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in (\mathbb{R}_+)^{\mathbb{N}} telle que ∑n=0+∞xn=A\sum_{n=0}^{+\infty} x_n = A.

Pour tout N∈NN \in \mathbb{N}, par développement du carré d'une somme de termes positifs (ou par récurrence) :

∑n=0Nxn2⩽(∑n=0Nxn)2⩽A2\sum_{n=0}^N x_n^2 \leqslant \left( \sum_{n=0}^N x_n \right)^2 \leqslant A^2

Par passage à la limite quand N→+∞N \to +\infty, la série ∑xn2\sum x_n^2 converge et :

∑n=0+∞xn2⩽A2\sum_{n=0}^{+\infty} x_n^2 \leqslant A^2

Comme les termes xn2x_n^2 sont positifs, la somme est positive ou nulle. D'où Δ⊆[0,A2]\Delta \subseteq [0, A^2].
Si A=0A = 0 on a triviallement Δ={0}\Delta = \{0\}.
On suppose désormais A>0A > 0 ce qui donne Δ⊆]0,A2]\Delta \subseteq ]0, A^2] (car la somme ne peut être nulle vu que A>0A > 0).

2. Atteinte de la borne supérieure A2A^2

Considérons la suite (xn)(x_n) définie par x0=Ax_0 = A et xn=0x_n = 0 pour tout n⩾1n \geqslant 1.

On a bien ∑n=0+∞xn=A\sum_{n=0}^{+\infty} x_n = A et ∑n=0+∞xn2=A2\sum_{n=0}^{+\infty} x_n^2 = A^2. Ainsi A2∈ΔA^2 \in \Delta.

3. Construction des sous-intervalles par le TVI

Soit N∈N∗N \in \mathbb{N}^*. Pour λ∈[0,1]\lambda \in [0, 1], définissons la suite (xn(λ))(x_n^{(\lambda)}) à support dans {0,…,2N−1}\{0, \dots, 2N-1\} par :

xk(λ)={λANsi 0⩽k⩽N−1(1−λ)ANsi N⩽k⩽2N−10si k⩾2Nx_k^{(\lambda)} = \begin{cases} \lambda \dfrac{A}{N} & \text{si } 0 \leqslant k \leqslant N-1 \\[6pt] (1-\lambda) \dfrac{A}{N} & \text{si } N \leqslant k \leqslant 2N-1 \\[6pt] 0 & \text{si } k \geqslant 2N \end{cases}

Vérifions la somme :

∑n=0+∞xn(λ)=N(λAN)+N((1−λ)AN)=A\sum_{n=0}^{+\infty} x_n^{(\lambda)} = N \left(\lambda \frac{A}{N}\right) + N \left((1-\lambda) \frac{A}{N}\right) = A

Calculons la somme des carrés S(λ)=∑n=0+∞(xn(λ))2S(\lambda) = \sum_{n=0}^{+\infty} (x_n^{(\lambda)})^2 :

S(λ)=N(λAN)2+N((1−λ)AN)2=A2N(λ2+(1−λ)2)S(\lambda) = N \left(\lambda \frac{A}{N}\right)^2 + N \left((1-\lambda) \frac{A}{N}\right)^2 = \frac{A^2}{N} \left( \lambda^2 + (1-\lambda)^2 \right)

La fonction λ↦λ2+(1−λ)2\lambda \mapsto \lambda^2 + (1-\lambda)^2 est continue sur [0,1][0,1], prend sa valeur minimale 12\frac{1}{2} en λ=12\lambda = \frac{1}{2} et sa valeur maximale 11 en λ=0\lambda = 0 (et 11).

D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, lorsque λ\lambda décrit [0,1][0,1], S(λ)S(\lambda) balaye continûment l'intervalle [A22N,A2N]\left[ \frac{A^2}{2N}, \frac{A^2}{N} \right],
d'où :

[A22N,A2N]⊆Δ\left[ \frac{A^2}{2N}, \frac{A^2}{N} \right] \subseteq \Delta

4. Union des intervalles et conclusion

On en déduit que :

⋃N∈N∗[A22N,A2N]⊆Δ\bigcup_{N \in \mathbb{N}^*} \left[ \frac{A^2}{2N}, \frac{A^2}{N} \right] \subseteq \Delta

Montrons que cette réunion recouvre ]0,A2]]0, A^2]. Soit x∈]0,A2]x \in ]0, A^2].

Posons N=⌊A2x⌋N = \left\lfloor \frac{A^2}{x} \right\rfloor. Comme x⩽A2x \leqslant A^2, on a N⩾1N \geqslant 1. Par définition de la partie entière :

N⩽A2x<N+1⩽2NN \leqslant \frac{A^2}{x} < N + 1 \leqslant 2N

En passant à l'inverse :

12N⩽xA2⩽1N  ⟺  A22N⩽x⩽A2N\frac{1}{2N} \leqslant \frac{x}{A^2} \leqslant \frac{1}{N} \iff \frac{A^2}{2N} \leqslant x \leqslant \frac{A^2}{N}

Ainsi x∈[A22N,A2N]x \in \left[\frac{A^2}{2N}, \frac{A^2}{N}\right], ce qui prouve l'inclusion réciproque ]0,A2]⊆Δ]0, A^2] \subseteq \Delta.

Conclusion : Δ=]0,A2]\Delta = ]0, A^2] pour A>0A > 0 et Δ={0}\Delta = \{0\} pour A=0A = 0.

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