Algèbre linéaire

1. Majoration du nombre de $1$ (Minoration du nombre de $0$)

Soit $M \in E$. Procédons par l'absurde et supposons que $M$ contienne strictement moins de $n-1$ zéro (c'est-à-dire au plus $n-2$ zéro).

Par le principe des tiroirs, comme la matrice possède $n$ colonnes et qu'il y a au plus $n-2$ zéro dans toute la matrice, il existe au moins deux colonnes de $M$ ne contenant aucun $0$.
La matrice $M$ possède donc deux colonnes identiques (composées que de 1).
Par conséquent, $\mathrm{rg}(M) \leqslant n - 1$, ce qui signifie que $M$ n'est pas inversible, d'où la contradiction.

On en déduit donc que toute matrice de $E$ contient au moins $n - 1$ zéro. Le nombre maximal de $1$ est alors au plus :

2. Construction d'une matrice atteignant cette borne

Considérons la matrice $M \in \mathcal{M}_n(\{0,1\})$ contenant exactement un $0$ sous chaque terme de la diagonale principale (sur la sous-diagonale) :

Cette matrice comporte bien exactement $n-1$ zéro, et donc $n^2 - n + 1$ un. Montrons qu'elle est inversible en déterminant son image.

On remarque que pour tout $k \in \llbracket 2, n \rrbracket$ :

où $E_k$ est le $k$-ième vecteur de la base canonique de $\mathbb{R}^n$ (avec un $1$ en position $k$).

Par opérations élémentaires sur les colonnes, l'image de $M$ s'écrit :

De plus, en remarquant que $C_1 - \sum_{k=2}^n E_k = E_1$, on en déduit que :

Ainsi, $\mathrm{rg}(M) = n$ donc la matrice $M$ est bien inversible ($M \in E$).

Conclusion : Le nombre maximal de $1$ d'un élément de $E$ est égal à $n^2 - n + 1$.

1. Sens direct : $(i) \implies (ii)$

Supposons $A$ monotone. Soit $X \in \mathbb{R}^n$ tel que $AX \geqslant 0$.

Posons $Y = AX \geqslant 0$. Comme $A$ est inversible, on a $X = A^{-1} Y$.

En examinant la $i$-ième composante de $X$ pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$ :

Par hypothèse, $(A^{-1})_{i, k} \geqslant 0$ et $(Y)_k \geqslant 0$ pour tous $i, k$. La somme de termes positifs étant positive, on en déduit que $(X)_i \geqslant 0$ pour tout $i$, soit $X \geqslant 0$.

2. Sens réciproque : $(ii) \implies (i)$

Supposons la propriété (ii) vérifiée.

a) Inversibilité de $A$ :

Soit $X \in \mathbb{R}^n$ tel que $AX = 0$.

• Comme $AX = 0 \geqslant 0$, l'implication (ii) donne $X \geqslant 0$.
• Par linéarité, $A(-X) = -AX = 0 \geqslant 0$, donc l'implication (ii) donne aussi $-X \geqslant 0$.

Un vecteur dont toutes les composantes sont à la fois positives et négatives est nécessairement nul : $X = 0$. Ainsi $\mathrm{Ker}(A) = \{0\}$, ce qui prouve que $A$ est inversible ($A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$).

b) Positivité de $A^{-1}$ :

Soit $j \in \llbracket 1, n \rrbracket$ et soit $E_j$ le $j$-ième vecteur de la base canonique de $\mathbb{R}^n$.

Posons $X = A^{-1} E_j$. On a alors :

En appliquant l'hypothèse (ii) à ce vecteur $X$, on obtient $X \geqslant 0$, c'est-à-dire $A^{-1} E_j \geqslant 0$.

Or, $A^{-1} E_j$ correspond exactement à la $j$-ième colonne de la matrice $A^{-1}$. En notant $A^{-1} = (b_{i, j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$ :

Cette propriété étant vraie pour toutes les colonnes $j \in \llbracket 1, n \rrbracket$, tous les coefficients de $A^{-1}$ sont positifs ou nuls.

Conclusion : On a bien $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ et $A^{-1} \geqslant 0$, ce qui conclut la démonstration.

1. Choix d'une base adaptée à une matrice de rang 1

Si $E = \{0\}$, le résultat est évidents. Supposons donc qu'il existe $A \in E \setminus \{0\}$.

Comme $\mathrm{rg}(A) \leqslant 1$ et $A \neq 0$, on a $\mathrm{rg}(A) = 1$. D'après le théorème du rang, $\dim(\mathrm{Ker}(A)) = n - 1$.

Soit $N$ un supplémentaire de $\mathrm{Ker}(A)$ dans $\mathbb{R}^n$ ($\dim(N) = 1$). Choisissons une base $\mathcal{B} = (E_1, \dots, E_{n-1}, E_n)$ adaptée à la somme directe $\mathbb{R}^n = \mathrm{Ker}(A) \oplus N$.

Posons $X = A E_n$. Puisque $E_n \in N \setminus \{0\}$ et $N \cap \mathrm{Ker}(A) = \{0\}$, on a $X \neq 0$. La matrice de l'endomorphisme $a$ associé à $A$ dans la base $\mathcal{B}$ s'écrit :

2. Structure des éléments de $E$ dans la base $\mathcal{B}$

Soit $V \in E$ une matrice quelconque, et $v$ son endomorphisme associé. Exprimons sa matrice dans la base $\mathcal{B}$ par ses colonnes :

Puisque $V \in E$, $\mathrm{rg}(V') = \mathrm{rg}(V) \leqslant 1$. De plus, comme $E$ est un sous-espace vectoriel, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, $V + \lambda A \in E$, donc :

3. Disjonction de cas selon la famille $(V'_n, X)$

Cas 1 : Il existe $V \in E$ tel que $(V'_n, X)$ est libre.

Comme $\mathrm{rg}(V' + A) \leqslant 1$, la famille de colonnes $(V'_1, \dots, V'_{n-1}, V'_n + X)$ est de rang au plus 1. Or la dernière colonne $V'_n + X$ est non nulle (car $V'_n$ et $X$ sont libres). Ainsi, toutes les colonnes $V'_i$ pour $i \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$ doivent être colinéaires à $V'_n + X$ ET à $V'_n$. Comme $(V'_n, V'_n + X)$ est une famille libre, cela impose :

Par un raisonnement similaire sur toute autre matrice $U \in E$, on montre que ses $n-1$ premières colonnes dans la base $\mathcal{B}$ sont également nulles.

Ainsi, tout élément $M \in E$ a une matrice dans la base $\mathcal{B}$ de la forme :

où $M_i = E_{i,n}$, la matrice dont la seule colonne non nulle est la dernière, égale au $i$-ième vecteur de la base canonique.

On en déduit que $E \subset \mathrm{Vect}(M_1, \dots, M_n)$, d'où $\dim(E) \leqslant n$.

Cas 2 : La famille $(V'_n, X)$ est liée.

Il existe alors $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $V'_n = \lambda X$.

Considérons la matrice $V + (1 - \lambda)A \in E$. On a :

Ainsi, pour tout $i \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$, il existe $\mu_i \in \mathbb{R}$ tel que $V'_i = \mu_i X$.

• Cas sous-jacent 2.1 : Si pour toute matrice $V \in E$, on a $\mu_i = 0$ pour tout $i \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$, alors $E = \mathrm{Vect}(A)$. Ainsi, $\dim(E) = 1 \leqslant n$.
• Cas sous-jacent 2.2 : On suppose qu'il existe $V \in E$ et $i_0 \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$ tel que $\mu_{i_0} \neq 0$.
  Soit un autre élément $U \in E$ représenté par la matrice $U' = (U'_1 \mid \dots \mid U'_n)$ dans la base $\mathcal{B}$.
  Par l'absurde, si la famille $(U'_n, X)$ était libre, alors $U'_n \neq 0$ et $U'_{i_0} = \alpha U'_n$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$, car on aurait alors $\mathrm{rg}(U') = 1$.
  En étudiant le rang de la combinaison $U + \lambda A + \mu V \in E$, les colonnes $U'_{i_0} + X$ et $U'_n$ formeraient une famille liée, d'où $(X, U'_n)$ liée, ce qui est absurde.
  Par conséquent, la famille $(U'_n, X)$ est nécessairement liée. Chaque matrice $M \in E$ a donc ses colonnes de la forme $M'_i = z_i X$.

Pour $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$, posons la matrice $M_i \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont l'endomorphisme associé $m_i$ a pour matrice dans la base $\mathcal{B}$ :

On a alors $E \subset \mathrm{Vect}(M_1, \dots, M_n)$, d'où $\dim(E) \leqslant n$.

Conclusion : Dans tous les cas (par disjonction de cas), $\dim(E) \leqslant n$.

1. Unicité de la solution

On commence par l'unicité parce que c'est le plus facile

Soient $X, Y \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ deux solutions de l'équation. On a donc :

Par différence :

En multipliant cette égalité à droite par $M$ et sachant que $M^3 = 0$, il vient :

Comme $M^3 = 0$, la matrice $I_n + M$ est inversible (d'inverse $I_n - M + M^2$). En multipliant par $(I_n + M)^{-1}$ à gauche, on obtient :

En réinjectant $(X - Y)M = 0$ dans l'équation initiale sur $X - Y$, on trouve :

L'inversibilité de $I_n + M$ impose directement $X - Y = 0$, soit $X = Y$. D'où l'unicité.

2. Existence par réduction / calcul par blocs

Puisque $M^3 = 0$, $M$ est semblable à une matrice triangulaire par blocs de la forme :

Soit $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telle que $M = P R P^{-1}$. En posant $X = P \tilde{X} P^{-1}$, l'équation s'écrit de manière équivalente sur $\tilde{X}$ :

Décomposons $\tilde{X}$ sous forme de blocs $3 \times 3$ compatibles avec ceux de $R$ :

On calcule les produits matriciels par blocs :

En identifiant terme à terme les blocs dans l'équation $\tilde{X} + R\tilde{X} + \tilde{X}R^2 = R$, on obtient successivement :

La matrice $\tilde{X}$ solution s'écrit donc :

Ainsi, $X = P(R - R^2)P^{-1} = M - M^2$ est bien une matrice solution.

Méthode alternative (Recherche sous forme polymomiale)

Pour l'existence, on peut chercher directement la solution $X$ sous la forme d'un polynôme en $M$, c'est-à-dire $X = P(M)$ avec $P \in \mathbb{R}[X]$.

Comme $M^3 = 0$, on peut se restreindre aux polynômes de degré au plus 2 :

On injecte $X = aM^2 + bM + cI_n$ dans l'équation $X + MX + XM^2 = M$ en utilisant $M^3 = M^4 = 0$ :

Par identification avec le membre de droite égal à $M$, il suffit de résoudre le système linéaire :

On retrouve ainsi la matrice $X = M - M^2$, ce qui confirme l'existence de la solution.