Algèbre générale

1. Conservation du degré et forme de $P_n$

Notons $d = \deg(P_0) \geqslant 2$. Remarquons que pour tout polynôme $P$ non constant :

Par récurrence immédiate, $\deg(P_n) = d$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Écrivons $P_0 = \sum_{k=0}^d a_k X^k$ avec $a_d \neq 0$. Un calcul par récurrence montre que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

2. Majoration des racines de $P_n$

Soit $n \in \mathbb{N^*}$ et soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une racine de $P_n$. Si $\lambda = 0$, son module est trivialement majoré. Supposons $\lambda \neq 0$. Comme $P_n(\lambda) = 0$, nous avons :

En prenant le module et en divisant par $|a_d| d^n$, on a par l'Inégalité Triangulaire :

En divisant par $|\lambda|^{d-1}$ :

Fixons un réel $\varepsilon > 0$.

• Si $|\lambda| \leqslant \varepsilon$, la racine est déjà majorée par $\varepsilon$.
• Si $|\lambda| > \varepsilon$, alors pour tout $k \in \{1, \dots, d-1\}$, on a $\frac{1}{|\lambda|} < \frac{1}{\varepsilon}$, d'où :
  $$|\lambda| \leqslant \sum_{k=1}^{d-1} \left| \frac{a_k}{a_d} \right| \left( \frac{k}{d} \right)^n \left( \frac{1}{\varepsilon} \right)^{d-1-k}$$

Dans tous les cas, toute racine $\lambda$ de $P_n$ vérifie :

3. Définition de la suite $(\lambda_n)$ et conclusion

Posons $A_n = \{ |\lambda| \mid \lambda \in \mathbb{C}, \, P_n(\lambda) = 0 \}$. L'ensemble $A_n$ est non vide et majoré, donc $\lambda_n = \sup(A_n)$ existe.

Par passage à la borne supérieure dans l'inégalité précédente, pour tout $\varepsilon > 0$ :

Comme $\frac{k}{d} < 1$ pour tout $k \in \{1, \dots, d-1\}$, on a $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{k}{d} \right)^n = 0$. Par somme finie :

Ainsi, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un rang $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geqslant n_0$ :

D'où pour tout $n \geqslant n_0$ :

Ce qui prouve exactement que $\lim_{n \to +\infty} \lambda_n = 0$.

On factorise $P$ par $X$ : $P = X Q$ avec $Q = X^3 + aX^2 + bX + 1$.

Les racines de $P$ sont $0$ et les trois racines de $Q$.

1. Analyse de la nature des racines de $Q$

Comme $Q$ est un polynôme à coefficients réels de degré 3 (impair), il possède au moins une racine réelle $\lambda \in \mathbb{R}^*$.

Les deux autres racines de $Q$ sont notées $z_1$ et $z_2$. Ces dernières sont nécessairement complexes car le cercle passe par les 4 racines (qui sont distinctes) et il ne peut avoir que 2 intersections avec la droite des réels. Le polynôme $Q$ étant réel, ses racines complexes sont nécessairement conjuguées : $z_1 = \mu$ et $z_2 = \overline{\mu}$ avec $\mu \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$.

On obtient donc les 4 racines : $0$, $\lambda$, $\mu$ et $\overline{\mu}$

2. Géométrie du cercle et relations coefficients-racines

Le cercle passe par l'origine $0$ et le point réel $\lambda$. Son centre a donc pour affixe $\omega = \frac{\lambda}{2}$ et son rayon est $R = \frac{|\lambda|}{2}$.

L'appartenance de la racine $\mu$ à ce cercle s'écrit :

Écrivons les relations coefficients-racines pour le polynôme $Q = X^3 + aX^2 + bX + 1$ dont les racines sont $\lambda, \mu, \overline{\mu}$ :

• Somme des racines : $\lambda + \mu + \overline{\mu} = \lambda + 2\operatorname{Re}(\mu) = -a$ (1)

• Somme des produits doubles : $\lambda(\mu + \overline{\mu}) + \mu\overline{\mu} = 2\lambda\operatorname{Re}(\mu) + |\mu|^2 = b$ (2)

• Produit des racines : $\lambda \mu \overline{\mu} = \lambda |\mu|^2 = -1$ (3)

3. Expression de $a$, $b$ et du produit $ab$ en fonction de $\lambda$

De la relation (3), on tire $|\mu|^2 = -\frac{1}{\lambda}$. Comme $|\mu|^2 > 0$, on en déduit que $\lambda < 0$.

L'équation de cocyclicité $|\mu|^2 = \lambda \operatorname{Re}(\mu)$ donne alors :

Injectons ces résultats dans l'expression de $a$ et $b$ :

• D'après (2) : $b = 2\lambda \left(-\frac{1}{\lambda^2}\right) + \left(-\frac{1}{\lambda}\right) = -\frac{2}{\lambda} - \frac{1}{\lambda} = -\frac{3}{\lambda}$.

• D'après (1) : $-a = \lambda + 2\left(-\frac{1}{\lambda^2}\right) = \lambda - \frac{2}{\lambda^2} \implies a = \frac{2}{\lambda^2} - \lambda$.

Calculons le produit $ab$ :

4. Encadrement de $ab$

Puisque $\mu$ n'est pas réel, on a $|\operatorname{Re}(\mu)| < |\mu|$.

En utilisant $\operatorname{Re}(\mu) = -\frac{1}{\lambda^2}$ et $|\mu| = \frac{1}{\sqrt{-\lambda}}$ :

Comme $\lambda < 0$, en divisant par $-\lambda > 0$, on obtient $-\lambda^3 > 1$, soit $\lambda^3 < -1$, ce qui équivaut à $\lambda < -1$.

• Comme $\lambda^3 < -1$, on a $-\frac{1}{\lambda^3} < 1$, donc $-\frac{6}{\lambda^3} < 6$.

• De plus, comme $\lambda < 0$, $-\frac{6}{\lambda^3} > 0$.

Conclusion : On a bien $3 < ab < 9$.